Las estructuras tipo sandwich son un caso especial de estructura laminar compuesta por dos láminas exteriores y un núcleo, donde la función de este último es resistir las cargas transversales de corte, de manera similar al alma de una viga de patín ancho (sección I). Las estructuras tipo sandwich soportan cargas de corte transversal de una manera diferente a los compuestos laminares delgados. Para profundizar en el comportamiento de este tipo de estructuras se analizará el mecanismo de soporte de carga de una placa sometida a cargas transversales normales, modelando cada capa con un resorte de rigidez \(G_{capa} H_{capa} \), donde la rigidez total puede calcularse idealizando el panel como una serie de resortes. Luego, la rigidez del panel puede obtenerse como:

$$ \frac{1}{G_{total} h_{total}} = \frac{1}{G_{lámina} h_{lámina}} + \frac{1}{G_{núcleo} h_{núcleo}} + \frac{1}{G_{lámina} h_{lámina}} $$

En general, para materiales tipo sandwich, el producto \(G_{lámina} h_{lámina}\) es mucho mayor, por varios órdenes de magnitud, que el producto \(G_{núcleo} h_{núcleo} \), dado que \(G_{núcleo} \) es mucho menor que \(G_{lámina}\) y \(h_{lámina} \) es menor que \(h_{núcleo}\). Debido a esto, es razonable asumir que el núcleo soporta todas las tensiones de corte transversal. Un método para mejorar los resultados del modelo de cáscara MITC4 para la simulación de paneles tipo sandwich consiste en ajustar la relación constitutiva del material de las láminas exteriores haciendo los módulos de corte transversal iguales a cero, esto es, \(G_{23}=G_{13}=0\).

En consecuencia, la rigidez al corte transversal del compuesto tipo sandwich estaría determinada completamente por los valores de los módulos de corte transversal del núcleo. Esta práctica constituye una alternativa a la aplicación de Factores de Corrección de Corte Transversal (SCF) calculados, debido a que el efecto de estos sobre los módulos de corte transversal de las láminas exteriores es similar, al reducir los módulos de corte debido a su multiplicación con factores cuyo valor está muy por debajo de la unidad. Estos valores pequeños para \(\kappa_{23}\) y \(\kappa_{13}\) resultarán para aquellos materiales donde los módulos de corte transversal de las láminas exteriores son mucho mayores que los módulos de corte transversal del núcleo.

El elemento de cáscara para materiales compuestos MITC4 multicapa que se emplea en el software ADINA es un elemento basado en el elemento de Ahmad, Irons & Zienkiewicz. Algunas características de este elemento y de otros elementos de varias capas son:

  • El espesor total de la cáscara se puede definir con un número arbitrario de capas, donde cada capa puede tener espesores nodales diferentes.
  • A cada capa de material se le puede asignar un modelo de material distinto. Hay capas que pueden ser de material isótropo (una lámina de aluminio en un compuesto tipo sandwich) y capas que pueden ser de material ortótropo (un núcleo tipo panal de abeja en un compuesto tipo sandwich), por ejemplo.

En la Figura 1 se aprecia una malla de elementos distorsionada en donde se ha definido la orientación del material. Cada punto en donde se hallan ubicados los vectores verdes y rojos es un punto de Gauss para la integración numérica de esta malla de elementos de cáscara.

Malla distorsionada con material orientado

Figura 1. Definición de ejes de ortotropía del material (verde y rojo) para una malla distorsionada.

Modelo de material isótropo (o isotrópico)

La matriz constitutiva o la matriz que contiene las propiedades para modelar el material de un elemento de cáscara como el MITC4 se encuentra a partir de la relación tensiones-deformaciones de elasticidad 3D, la cual está escrita en términos de los ejes locales del elemento para poder introducir la condición de tensión plana \(\sigma_{33}=0\). La relación entre las tensiones y las deformaciones locales se obtiene haciendo \(\epsilon_{33}=0\). Si se impone la condición \(\sigma_{33}=0\) también se llega al mismo resultado:

$$ C = \frac{E}{1-\nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \nu & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \displaystyle \frac{1-\nu}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \kappa_{23} \displaystyle \frac{1-\nu}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \kappa_{13} \displaystyle \frac{1-\nu}{2}  \end{bmatrix} $$

El modelo de material isótropo se define con dos constantes, el módulo de Young \(E\) y el coeficiente de Poisson \(\nu\). Las constantes \(\kappa_{23}\) y \(\kappa_{13}\) son dos Factores de corrección de la energía de corte transversal (SCF por sus siglas en inglés). Para materiales isótropos y homogéneos su valor es constante e igual a 5/6. El elemento MITC4 para materiales compuestos y otros, que asumen deformaciones constantes a través del espesor, son especialmente sensibles al uso del SCF adecuado cuando se modelan materiales gruesos en donde las propiedades de corte fuera del plano o corte transversal del núcleo de un panel son mucho más bajas que las del material de las láminas exteriores.

Modelo de material ortótropo (u ortotrópico)

Este modelo cumple con la condición \(\sigma_{33}=0\). Los ejes de ortotropía son ortonormales. La relación constitutiva en un punto del elemento se puede escribir con referencia a los ejes de ortotropía como:

$$ \begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \tau_{12} \\ \tau_{23} \\ \tau_{13} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} & 0 & 0 & 0 \\ R_{12} & R_{22} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & R_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & R_{55} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & R_{66} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ 2 \epsilon_{12} \\ 2 \epsilon_{23} \\ 2 \epsilon_{13} \end{bmatrix} $$

Siendo,

$$ R_{11}=\frac{E_1}{D} $$

$$ R_{22}=\frac{E_2}{D} $$

$$ R_{12}=\frac{\nu_{12} E_1}{D}=\frac{\nu_{21} E_2}{D} $$

$$ R_{44}=G_{12} $$

$$ R_{55}=\kappa_{23} G_{23} $$

$$ R_{66}=\kappa_{13} G_{13} $$

$$ D = 1- \nu_{12} \nu_{21} $$

Para definir por completo este modelo de material se requiere de seis constantes: \(E_1,~E_2,~\nu_{12},~G_{12},~G_{23},~G_{13}\). Cabe recordar que la relación constitutiva relaciona un estado de deformaciones con un estado de esfuerzos en un punto dentro del elemento. Tanto para el modelo isótropo como el ortótropo se podría escribir:

$$ \sigma = C \cdot \epsilon $$

Se debe tener en cuenta que la relación constitutiva ortótropa está definida así en el sistema de coordenadas alineado con los ejes de ortotropía.

Factores de corrección de energía de corte transversal

En el análisis de placas y cáscaras gruesas o en el análisis de estructuras de varias capas, como los paneles tipo sandwich, que tienen baja rigidez en cortante, la energía de las deformaciones de corte transversales podría no ser despreciable en comparación con la energía por flexión, lo cual aplica para materiales muy delgados (es decir, en materiales muy delgados se asume que las deformaciones de corte transversales son despreciables en comparación con las deformaciones causadas por la flexión). En estos casos, el cálculo de la energía de deformación por corte transversal del elemento debe modificarse mediante la introducción de factores multiplicativos que reducen la rigidez al corte transversal del material a partir de la reducción de los módulos elásticos de corte fuera del plano \(G_{23}\) y \(G_{13}\). Esto con el objetivo de lograr una mejor estimación de las deformaciones de corte transversal a través del espesor del elemento.

Como se había mencionado antes, no usar los factores de corrección por corte transversal en un modelo tipo sandwich en donde el núcleo es grueso y tiene propiedades bajas con respecto a las láminas exteriores, puede dar origen a errores de calculo grandes. En el video referenciado a continuación, el no uso de los SCF pudo haber producido errores en la estimación de la deflexión del panel de hasta un 43%.

 

El sistema de ecuaciones de equilibrio para un modelo estático lineal es:

$$ K \cdot U = R $$

Donde \(U\) es el vector de desplazamientos y rotaciones nodales, \(R\) es el vector de cargas y momentos nodales externos y \(K\) es la matriz de rigidez de la malla de elementos finitos.

El uso de elementos tri-dimensionales para modelar problemas con geometrías delgadas presenta algunas dificultades. En primer lugar, tener tres grados de libertad en cada nodo conlleva a grandes coeficientes de rigidez para aquellos desplazamientos relativos a lo largo de un borde correspondiente al espesor, lo que presenta problemas numéricos por mal condicionamiento de las ecuaciones. En segundo lugar, el uso de varios nodos a través del espesor resulta en un gran aumento en el uso de memoria y tiempos de cómputo. Estas son las razones principales para el desarrollo de elementos de placa y de cáscara para modelar geometrías delgadas.

Antes de tratar los elementos de cáscara se hará una corta referencia a algunas hipótesis fundamentales en la teoría de placas y cáscaras. La primera y más importante de ellas es:

Hipótesis 1

Las partículas del material que están originalmente en una línea recta perpendicular a la superficie media de la cáscara permanecen en una línea recta durante las deformaciones.

Dos teorías que se desprenden de la hipótesis anterior son:

1. Teoría de placas delgaas de Kirchhoff (1850)

Las deformaciones por corte se desprecian, y la línea recta permanece perpendicular a la superficie media durante las deformaciones.

2. Teoría de placas gruesas de Mindlin & Reissner (1945 y 1951)

las deformaciones por corte se incluyen, y la línea que originalmente se hallaba normal a la superficie media no permanece perpendicular a dicha superficie durante las deformaciones.

La segunda hipótesis, la cual está limitada a pequeñas deformaciones, es:

Hipótesis 2

El espesor de la cáscara permanece constante durante las deformaciones, luego, la componente normal a la superficie media se asume \(\epsilon_{nn}=0\).

A continuación, se menciona la última hipótesis, cuya aplicación a la relación constitutiva 3D permitirá obtener la relación constitutiva para el elemento de cáscara.

Hipótesis 3

Las tensiones en la dirección normal a la superficie media de la cáscara se asumen nulas, de donde \(\sigma_{nn}=0\).

Para enfrentar un problema que requiera análisis de geometrías curvas se han tenido las siguientes posibilidades: 1. Desarrollar elementos curvos basados en teoría clásica de cáscaras (las formulaciones son complejas), 2. Usar elementos sólidos 3D de espesor pequeño o 3. Desarrollar elementos de cáscara curvos degenerando elementos sólidos.