En un triángulo \(\triangle ABC\) isósceles de base \( \overline{BC} \) se toman D y E tales que AD=AE, con A-D-B y A-E-C. Se trazan \(\overline{BE}\) y \(\overline{CD}\), que se cortan en R. Pruebe que \(\overline{AR}\) pasa por el punto medio N de \(\overline{DE}\).

 

Hipótesis

\(\triangle ABC \) isósceles de base \(\overline{BC}\)

A-D-B y A-E-C

AD=AE

\(\overline{BE} \cap \overline{CD} = R\)

 

Tesis

A-N-R con N punto medio de \(\overline{DE}\)

  Ejercicio de geometría euclidiana congruencia de triángulos

 

  Proposición Razón
1. Hipótesis Por hipótesis
2. AN=AN Propiedad reflexiva
3. AE=AD Por hipótesis 
4. AR=AR Propiedad reflexiva
5. AC=AB Porque \(\triangle ABC\) es isósceles de base \(\overline{BC}\). Por definición de triángulo isósceles.
6. \(\delta = \delta'\) Teorema triángulo isósceles. Ángulos de la base son congruentes. 
7. BD=AB-AD a) Suma de segmentos adyacentes.
  CE=AC-AE b)  
8. CE=AB-AD Sustitución de 5 y 3 en 7b.
9. BD=CE Transitividad entre 7a y 8.
10. BC=BC Propiedad reflexiva.
11. \(\triangle BDC \cong \triangle CEB\) Criterio LAL. De 9, 6 y 10.
12. \(\omega = \omega'\) Ángulos homólogos entre triángulos congruentes. De 11.
13. \(\rho = \rho'\) Ángulos homólogos entre triángulos congruentes. De 11.
14. \(\alpha = \delta - \rho\) Suma de ángulos adyacentes.
15. \(\alpha' = \delta' - \rho'\) Suma de ángulos adyacentes.
16. \(\alpha' = \delta - \rho\) Sustitución de 6 y 13 en 15.
17. \(\alpha = \alpha'\) Transitividad entre 14 y 16.
18. \(\triangle REC \cong \triangle RDB\) Criterio ALA. De 12, 9 y 17.
19. RE=RD Lados homólogos entre triángulos congruentes. De 18.
20. \(\mu = \mu'\) Por ser ángulos suplementarios de dos ángulos congruentes. De 12.
21. \(\triangle ARE \cong \triangle ARD\) Criterio LAL. De 19, 20 y 3.
22. \(\gamma = \gamma'\) Ángulos homólogos entre triángulos congruentes. De 21.
23. ND=NE Lados homólogos entre triángulos congruentes. De 22.
24. N es punto medio de \(\overline{DE}\) Por definición de punto medio. De 23, con D-N-E.
25. A-N-R con N punto medio de \(\overline{DE}\) De 24. L.q.q.d.

Ejercicio de geometría euclidiana congruencia de triángulos