Modelo de material isótropo (o isotrópico)

La matriz constitutiva o la matriz que contiene las propiedades para modelar el material de un elemento de cáscara como el MITC4 se encuentra a partir de la relación tensiones-deformaciones de elasticidad 3D, la cual está escrita en términos de los ejes locales del elemento para poder introducir la condición de tensión plana \(\sigma_{33}=0\). La relación entre las tensiones y las deformaciones locales se obtiene haciendo \(\epsilon_{33}=0\). Si se impone la condición \(\sigma_{33}=0\) también se llega al mismo resultado:

$$ C = \frac{E}{1-\nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \nu & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \displaystyle \frac{1-\nu}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \kappa_{23} \displaystyle \frac{1-\nu}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \kappa_{13} \displaystyle \frac{1-\nu}{2}  \end{bmatrix} $$

El modelo de material isótropo se define con dos constantes, el módulo de Young \(E\) y el coeficiente de Poisson \(\nu\). Las constantes \(\kappa_{23}\) y \(\kappa_{13}\) son dos Factores de corrección de la energía de corte transversal (SCF por sus siglas en inglés). Para materiales isótropos y homogéneos su valor es constante e igual a 5/6. El elemento MITC4 para materiales compuestos y otros, que asumen deformaciones constantes a través del espesor, son especialmente sensibles al uso del SCF adecuado cuando se modelan materiales gruesos en donde las propiedades de corte fuera del plano o corte transversal del núcleo de un panel son mucho más bajas que las del material de las láminas exteriores.

Modelo de material ortótropo (u ortotrópico)

Este modelo cumple con la condición \(\sigma_{33}=0\). Los ejes de ortotropía son ortonormales. La relación constitutiva en un punto del elemento se puede escribir con referencia a los ejes de ortotropía como:

$$ \begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \tau_{12} \\ \tau_{23} \\ \tau_{13} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} & 0 & 0 & 0 \\ R_{12} & R_{22} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & R_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & R_{55} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & R_{66} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ 2 \epsilon_{12} \\ 2 \epsilon_{23} \\ 2 \epsilon_{13} \end{bmatrix} $$

Siendo,

$$ R_{11}=\frac{E_1}{D} $$

$$ R_{22}=\frac{E_2}{D} $$

$$ R_{12}=\frac{\nu_{12} E_1}{D}=\frac{\nu_{21} E_2}{D} $$

$$ R_{44}=G_{12} $$

$$ R_{55}=\kappa_{23} G_{23} $$

$$ R_{66}=\kappa_{13} G_{13} $$

$$ D = 1- \nu_{12} \nu_{21} $$

Para definir por completo este modelo de material se requiere de seis constantes: \(E_1,~E_2,~\nu_{12},~G_{12},~G_{23},~G_{13}\). Cabe recordar que la relación constitutiva relaciona un estado de deformaciones con un estado de esfuerzos en un punto dentro del elemento. Tanto para el modelo isótropo como el ortótropo se podría escribir:

$$ \sigma = C \cdot \epsilon $$

Se debe tener en cuenta que la relación constitutiva ortótropa está definida así en el sistema de coordenadas alineado con los ejes de ortotropía.

Factores de corrección de energía de corte transversal

En el análisis de placas y cáscaras gruesas o en el análisis de estructuras de varias capas, como los paneles tipo sandwich, que tienen baja rigidez en cortante, la energía de las deformaciones de corte transversales podría no ser despreciable en comparación con la energía por flexión, lo cual aplica para materiales muy delgados (es decir, en materiales muy delgados se asume que las deformaciones de corte transversales son despreciables en comparación con las deformaciones causadas por la flexión). En estos casos, el cálculo de la energía de deformación por corte transversal del elemento debe modificarse mediante la introducción de factores multiplicativos que reducen la rigidez al corte transversal del material a partir de la reducción de los módulos elásticos de corte fuera del plano \(G_{23}\) y \(G_{13}\). Esto con el objetivo de lograr una mejor estimación de las deformaciones de corte transversal a través del espesor del elemento.

Como se había mencionado antes, no usar los factores de corrección por corte transversal en un modelo tipo sandwich en donde el núcleo es grueso y tiene propiedades bajas con respecto a las láminas exteriores, puede dar origen a errores de calculo grandes. En el video referenciado a continuación, el no uso de los SCF pudo haber producido errores en la estimación de la deflexión del panel de hasta un 43%.