Para calcular la matriz de rigidez de un elemento primero se debe calcular la matriz de transformación deformaciones-desplazamientos. Las deformaciones de los elementos se obtienen en términos de las derivadas de los desplazamientos del elemento \(u,v,w\) con respecto a las coordenadas locales \(x,y,z\). Los desplazamientos de un punto dentro del elemento están definidos en términos de las coordenadas naturales \(r,s,t\), por lo cual es necesario relacionar las derivadas de \(x,y,z\) con las derivadas de \(r,s,t\). Las derivadas requeridas se hallarán usando la regla de la cadena:

$$ \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial s} \frac{\partial s}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial x} $$

$$ \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial s} \frac{\partial s}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial y} $$

$$ \frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial z} + \frac{\partial}{\partial s} \frac{\partial s}{\partial z} + \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial z} $$

Ecuación 1

Para calcular \(\partial / \partial x \) y las otras dos derivadas se requiere antes conocer el valor de \(\partial r / \partial x\), \(\partial s /\partial x \) and \(\partial t / \partial x \). Para ello se requiere aplicar nuevamente la regla de la cadena para obtener:

$$ \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial }{\partial r} \\ \displaystyle \frac{\partial }{\partial s} \\ \displaystyle \frac{\partial }{\partial t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial x}{\partial r} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial r} & \displaystyle \frac{\partial z}{\partial r} \\ \displaystyle \frac{\partial x}{\partial s} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial s} & \displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} \\ \displaystyle \frac{\partial x}{\partial t} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial t} & \displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial }{\partial x} \\ \displaystyle \frac{\partial }{\partial y} \\ \displaystyle \frac{\partial }{\partial z} \end{bmatrix} $$

La expresión anterior se podría reescribir en forma matricial como:

$$ \frac{\partial}{\partial r} = J \frac{\partial}{\partial x} $$

Donde a \(J\) se le denomina el operador jacobiano que relaciona a las derivadas con respecto a las coordenadas naturales con las derivadas con respecto a las coordenadas locales. Si reordenamos la expresión anterior para determinar las derivadas con respecto a las coordenadas locales obtenemos que:

$$ \frac{\partial}{\partial x} = J^{-1} \frac{\partial}{\partial r} $$

Se requiere que la inversa de J exista. Luego:

$$ J^{-1} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial r}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial s}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial t}{\partial x} \\ \displaystyle \frac{\partial r}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial s}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial t}{\partial y} \\ \displaystyle \frac{\partial r}{\partial z} & \displaystyle\frac{\partial s}{\partial z} & \displaystyle \frac{\partial t}{\partial z} \end{bmatrix} $$

Se puede usar la Ec. 1 y las expresiones,

 $$ u = \sum_{i=1}^q h_i u_i ~~~~~~~~~v=\sum_{i=1}^q h_i v_i~~~~~~~~~w=\sum_{i=1}^q h_i w_i$$

para hallar \(\partial u / \partial x\), \(\partial u / \partial y\), \(\partial u / \partial z\), \(\partial v / \partial x\), ... hasta \(\partial w / \partial z\) y construir la matriz de transformación deformaciones desplazamientos B, que resulta de analizar la expresión:

$$ \epsilon = B \hat{u} $$

donde \(\epsilon\) es un vector de componentes de desplazamiento y \(\hat{u}\) es un vector de componentes de desplazamientos nodales. Si el elemento es de cuatro nodos y se tienen dos grados de libertad por nodo, entonces el vector \(\hat{u}\) posee una columna y ocho filas. Dependiendo del tipo de problema (elemento tipo barra, viga, esfuerzo plano, deformación plana, axisimétrico, 3D, etc.), se poseen variables cinemáticas y estáticas bien definidas. Por ejemplo, para un problema de esfuerzo plano o un problema de deformación plana (plain stress o plain strain por su traducción al inglés) las componentes de los desplazamientos son \(u,\) y \(v\), el vector de deformaciones es,

$$ \epsilon = \begin{bmatrix} \epsilon_{xx} \\ \epsilon_{yy} \\ \gamma_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} \\ \displaystyle \frac{\partial v}{\partial y} \\ \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}+ \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} \end{bmatrix} $$