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Deformaciones infinitesimales

Provienen del tensor de deformaciones de Green-Lagrange. En el siguiente vínculo se presenta parte de su desarrollo a partir de teoría del mecánica del medio contínuo:

Deducción de deformaciones infinitesimales a partir de tensor de Green-Lagrange

$$ \epsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right] $$

Donde \(u_i\) son los tres desplazamientos a lo largo de los ejes coordenados cartesianos u, v y w, mientras que \(x_i\) son las tres coordenadas cartesianas x, y y z.

 

Medidas de deformación (para una barra)

Las siguientes medidas de deformación están escritas para el caso particular de una barra en equilibrio sometida a cargas iguales y opuestas en sus extremos.

Deformación de ingeniería

$$ ^oe = \frac{l -^ol}{^ol} $$

Deformación de Green-Lagrange

$$ \epsilon = \frac{1}{2} \left( \frac{l^2-^ol^2}{^ol^2} \right) $$

Deformación logarítmica

También conocida como deformación verdadera.

$$ e = \ln \left( \frac{l}{^ol} \right) = \int_{^ol}^l \frac{dl}{l} $$

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Formulación para pequeños desplazamientos / pequeñas deformaciones

Datos de entrada: todos los elementos y modelos de materiales usan los esfuerzos de ingeniería y deformaciones de ingeniería. Datos de salida: esfuerzos de Cauchy y deformaciones de ingeniería.

Formulación para grandes desplazamientos / pequeñas deformaciones

Datos de entrada: esfuerzos del segundo tensor de tensiones de Piola-Kichhoff y deformaciones de Green-Lagrange. Importante notar que en condiciones de pequeñas deformaciones el segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff son casi iguales a los esfuerzos de ingeniería. Datos de salida: elementos 2D y 3D: todos los modelos de materiales entregan esfuerzos de Cauchy y deformaciones de Green-Lagrange.

Formulación para grandes desplazamientos / grandes deformaciones

Para elementos 2D y 3D. Hay muchos modelos de materiales para esta formulación: (1) plástico-bilineal, plástico-multi-lineal, termo-plástico. Datos de entrada: esfuerzos de Cauchy (verdaderos) y deformaciones logarítmicas (verdaderas). Datos de salida: formulación ULH: esfuerzos de Cauchy y gradientes de deformación. Formulación ULJ: esfuerzos de Cauchy y deformaciones de Jaumann.

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Modelo de material elástico lineal

Un material elástico recupera completamente la forma después de retirar la carga. Un material elástico carga y descarga a través de la misma curva esfuerzo-deformación. La deformación de un material elástico es proporcional al esfuerzo aplicado. La relación entre fuerzas y deformaciones es de un solo valor (lineal) e independiente del tiempo.

En cuanto al modelo de material elástico lineal, el esfuerzo (la tensión) total está determinado enteramente por la deformación total. Estos modelos pueden emplearse usando las formulaciones para pequeños o grandes desplazamientos. En todos los casos, las deformaciones se asumen pequeñas. Cuando se usan materiales elásticos isótropos o elásticos ortótropos con la formulación de pequeñas deformaciones, la formulación es lineal. Si los modelos de materiales se usan con formulaciones grandes desplazamientos/pequeñas deformaciones o grandes desplazamientos/grandes deformaciones, se usa la formulación total de Lagrange (no lineal). En la formulación para pequeños desplazamientos, la relación esfuerzo deformación es:

$$ _0^t \sigma = C \cdot _0^t e $$

Donde:

\( _0^t \sigma \) son los esfuerzos de ingeniería.

\( _0^t e \) son las deformaciones de ingeniería.

En la formulación total de Lagrange, la relación esfuerzo-deformación es:

$$ _0^t S = C \cdot _0^t \epsilon $$

Donde:

\( _0^t S \) son los esfuerzos del segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff.

\( _0^t \epsilon \) son las deformaciones del tensor de Green-Lagrange.

Se usa la misma matriz del material \( C \) en todas estas formulaciones. Si las deformaciones son grandes, no se recomienda el uso del modelo de material elástico lineal.

Modelo de material elástico no lineal

No debe usarse para análisis de grandes deformaciones. En este modelo, el material descarga a lo largo de la misma curva, de modo que no se producen deformaciones inelásticas permanentes (plásticas), pero sí puede tener diferentes curvas esfuerzo-deformación a tensión y a compresión.

Modelo de material para plasticidad isotérmica

Son modelos de materiales plasticos bilineales y plásticos multi-lineales. Estos modelos se basan en: criterio de cedencia de Von Mises (1) y una regla de flujo asociada que usa la función de fluencia de Von Mises (2). Una regla de endurecimiento del material isotrópica o cinemática, bilineal o multi-lineal. Estos modelos pueden usarse con formulaciones para pequeños desplazamientos/pequeñas deformaciones, grandes desplazamientos/pequeñas deformaciones y grandes desplazamientos/grandes deformaciones.

Modelo de material hiperelástico

Es un tipo de modelo constitutivo para materiales idealmente elásticos para los cuales su relación esfuerzo-deformación se deriva de una función de densidad de energía de deformación. Es un caso especial de material elástico de Cauchy. Para muchos materiales el modelo elástico lineal no describe de manera exacta el comportamiento observado del material. Un ejemplo de material cuyo comportamiento se puede considerar dentro de lo cubierto por este modelo son los elastómeros vulcanizados (el material de los neumáticos de automóviles - llantas).

Modelo de material viscoelástico

Se usa para materiales que exhiben características tanto viscosas como elásticas cuando se deforman. Un ejemplo de material con este comportamiento es la miel, la cual resiste flujo cortante y deformación linealmente con el tiempo cuando se le aplica un esfuerzo.

¿Qué es un material estable?

Uno sobre el cual tenemos que hacer trabajo mecánico para deformarlo.

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Medidas de esfuerzo (barra)

Las siguientes medidas de esfuerzo están escritas para el caso particular de una barra en equilibrio estático sometida a cargas iguales y opuestas en los extremos:

Esfuerzo de ingeniería

Es el cociente entre la carga aplicada y el área inicial de la sección transversal.

$$ \sigma_{ing} = \frac{F}{A_0} $$

\( \sigma_{ing} \): esfuerzo de ingeniería.

\(F\): carga instantánea aplicada sobre la barra.

\(A_0\): área inicial de la sección transversal de la barra lejos de los extremos de aplicación de la barra.

Esfuerzo de Cauchy o verdadero

El esfuerzo de Cauchy también se conoce como esfuerzo verdadero. A cualquier carga aplicada, es el cociente entre la carga aplicada y el área de la sección transversal en ese instante de tiempo.

$$ \tau=\frac{F}{^tA} = \sigma_{ing} \frac{^oA}{^tA} = \frac{F}{^tA} \frac{^oA}{^oA} $$

\( \tau \): esfuerzo de Cauchy.

\(^tA\): área de la sección transversal en la configuración deformada (en un tiempo t).

\(^oA \): área de la sección transversal en la configuración inicial no deformada.

Para una barra, también se puede escribir como:

$$ \tau = \frac{F}{^oA} \left( 1 + \epsilon_{ing} \right) = \sigma_{ing} \left( 1 + \epsilon_{ing} \right) $$

\( \epsilon_{ing} \): deformación de ingeniería.

Segundo esfuerzo de Piola-Kirchhoff

$$ S = \frac{F \times ^ol}{^oA \times ^tl} = \sigma_{ing} \frac{^ol}{^tl} = \frac{F}{^tA} \frac{^ol}{^tl} \frac{^tA}{^oA} = \tau \frac{^ol}{^tl} \frac{^tA}{^oA} $$

\( S \): segundo esfuerzo de Piola-Kichhoff.

\( ^tl \): longitud de la barra en la configuración deformada (en un tiempo t).

\( ^ol \): longitud de la barra en la configuración inicial.

Esfuerzo de Kirchhoff

$$ \left(J\right) \left( \tau \right) = \left( \frac{^tA \times ^tl}{^oA \times ^ol} \right) \left( \tau \right) = \frac{F \times ^ol}{^oA \times ^ol} = \sigma \frac{^tl}{^ol} = \frac{^0\rho}{^t\rho} \tau $$

$$ \text{Kirchhoff} = \frac{^0\rho}{^t\rho} \text{Cauchy} $$

Lo anterior se puede concluir teniendo en cuenta que:

$$ J = \frac{^o\rho}{^t\rho} = \frac{m/^oV}{m/^tV} = \frac{^tV}{^oV} = \frac{^tA \times ^tl}{^oA \times ^ol} $$

\( J \): jacobiano de la transformación.

\( ^o\rho \): densidad de la barra en la configuración inicial.

\( ^t\rho \): densidad de la barra en la configuración deformada (en un tiempo t).

\( ^oV \): volumen de la barra en la configuración inicial.

\( ^tV \): volumen de la barra en la configuración deformada (en un tiempo t).

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