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26. Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto P de intersección de la recta

$$ \overleftrightarrow{l}: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1} $$

con el plano

$$ \pi_1: x-2y+5z+1=0 $$

y contiene a la recta \( \overleftrightarrow{r} \) de intersección de los planos

$$ \pi_2: x+y-z=2 $$

y

$$ \pi_3: 2x-y+3z=1 $$

DESARROLLO

Primero, hallemos el punto que tienen en común la recta \( \overleftrightarrow{l} \) y el plano \( \pi_1 \). El procedimiento detallado se puede encontrar en el ejercicio 16 de este mismo taller:

Geometría analítica | Solución ejercicio 16 | Rectas y planos

Lo describiré de igual forma así: escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta \( \overleftrightarrow{l} \), las cuales quedarán con x, y, z como variables dependientes y en función de un parámetro. Luego, sustituímos estas ecuaciones para x, y, z en la ecuación general del plano \( \pi_1 \). Obtendremos una ecuación con una incógnita, que será el parámetro. Resolvemos para el parámetro, que resulta t=1 y luego lo sustituimos en las ecuaciones paramétricas de la recta \( \overleftrightarrow{l} \) para obtener el punto:

$$ P(x,y,z)=P(3,2,0) $$

A continuación hallaremos un vector director para la recta de intersección entre los planos \( \pi_2 \) y \( \pi_3 \), el cual se puede obtener del producto cruz entre los dos vectores normales a estos planos, que se obtienen de los coeficientes que acompañan a las variables x, y, z en las ecuaciones generales de cada plano. El orden en que se realice el producto de los dos vectores normales es indiferente, dado que ambos serán paralelos a la recta de intersección.

$$ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{n}_2 \times \overrightarrow{n}_3 = (1, 1, -1) \times (2, -1, 3) $$

El vector director de la recta de intersección entre ambos planos es:

$$ \overrightarrow{d} = (-2, 5, 3) $$

Para resolver el problema, se quiere realizar un producto cruz entre dos vectores paralelos al plano, de modo que el vector resultante sea perpendicular a ellos y lo podamos tomar como el vector normal del plano que estamos buscando. Ya tenemos un vector paralelo al plano, el cual es el vector director que acabamos de encontrar. Necesitamos otro. Para definirlo, tenemos ya un punto que también pertenece al plano -aquél que nos da el problema- pero necesitamos otro punto, al cual llamaremos Q. Encontremos entonces un punto que pertenezca a la recta \( \overleftrightarrow{r} \). Para ello, impondremos un valor cualquiera a una de las coordenadas, por ejemplo, z=0. Con esto estamos reduciendo el conjunto solución de ambos planos a dos rectas, en cuya intersección estará el punto de interés. Trabajando con las ecuaciones de los planos pi2 y pi3 resultará:

$$ Para~\pi_2:~~~x+y=2 $$

$$ Para~\pi_3:~~~2x-y=1 $$

Se obtiene un sistema de ecuaciones de 2 x 2. Al resolverlo, resulta:

$$ x=1 $$

$$ y=1 $$

Es decir, un punto -de infinitos- que pertenece a la recta de intersección de ambos planos es:

$$ Q(x,y,z)=Q(1,1,0) $$

El otro vector paralelo al plano buscado resultará de usar los puntos Q y P para formar un vector QP, dado que ambos puntos pertenecen al plano buscado.

$$ \overrightarrow{QP} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{Q} = (3,2,0)-(1,1,0) $$

$$ \overrightarrow{QP} = (2,1,0) $$

Con los dos vectores paralelos al plano, d y QP, hallamos el vector normal al plano buscado:

$$ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{d} \times \overrightarrow{QP} = (-2,5,3) \times (2,1,0) $$

$$ \overrightarrow{n} = (-3,6,-12) $$

La ecuación general del plano se puede hallar a partir de la forma normal:

$$ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{p} $$

Esto resulta:

$$ (-3,6,-12) \cdot (x,y,z) = (-3,6,-12) \cdot (3,2,0) $$

$$ -3x+6y-12z=-9+12=3 $$

La ecuación anterior se puede escribir mejor si aplicamos propiedades de los reales (de las igualdades), multiplicando a ambos lados por -1/3, resultando:

$$ x-2y+4z=-1 $$

Cualquier otra forma que resulte de multiplicar esta expresión a ambos lados por un número real también es aceptable.

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25. Dadas las siguientes rectas:

$$ \overleftrightarrow{l1}: \frac{x+2}{-2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+k}{-2} $$

$$ \overleftrightarrow{l2}: $$

$$ x=-4+4t~~~(Ec. 4)$$

$$ y=-1+3t~~~(Ec. 5) $$

$$ z=-4+5t~~~(Ec. 6) $$

Calcular:

a) El valor de \(k\) para que las rectas se corten (se intersequen).

b) El punto de intersección de las rectas.

DESARROLLO

Punto a)

Primero, es necesario reescribir la forma simétrica de la recta l1 en su forma paramétrica. El parámetro t lo estamos usando para la recta l2, por lo cual asignaremos un parámetro diferente (s) para la recta l1, así:

$$ x=-2-2s~~~(Ec. 1) $$

$$ y=3+1s~~~(Ec. 2) $$

$$ z=-k-2s~~~(Ec. 3) $$

Si las rectas poseen un punto en común entonces se cumplirá que para ese punto existirá un parámetro t en l1 y un parámetro s en l2 que resultarán en las mismas coordenadas x, y, z. Esto es, x=x, y=y, z=z. Igualemos entonces las ecuaciones 1 y 4, 2 y 5, 3 y 6:

$$ -2-2s=-4+4t~~~(Ec. 7)$$

$$ 3+s=-1+3t~~~(Ec. 8) $$

$$ -k-2s=-4+5t~~~(Ec. 9) $$

Tenemos entonces un sistema lineal de ecuaciones de 3 x 3. Resolvamos para s y t con Ec. 7 y Ec. 8, lo cual resulta:

$$ t=1$$

$$ s=-1 $$

Sustituyamos ahora t=1 y s=-1 en la Ec. 9, para obtener:

$$ k=1 $$

Punto b)

Para hallar el punto de corte basta con usar los valores de s, t y k en el conjunto de ecuaciones 1, 2 o 3, o bien, en el conjunto de ecuaciones 4, 5 y 6. En ambos casos las coordenadas x, y, z del punto deberían ser las mismas. El punto de corte o de intersección buscado es, finalmente:

$$ P(x,y,z)=P(0,2,1) $$

Ratio: 5 / 5

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1. Determine las ecuaciones simétricas y paramétricas de las siguientes rectas:

Nota: si en cada una de las ecuaciones paramétricas de la recta, \(x=x_0+\alpha a\), \(y=y_0+\alpha b\), \(z=z_0+\alpha c\) despejamos el parámetro y luego igualamos, se obtienen las llamadas ecuaciones simétricas de la recta:

$$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$$

a. Pasa por los puntos \(P_1(3,5,7)\), \(P_2(6,5,4)\).

b. Pasa por el punto \(P(2,-3,4)\) y es perpendicular al plano con ecuación \(2x-y+3z=4\).

c. Pasa por el origen y es perpendicular a la línea \(\frac{x-10}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}\) en su intersección.

Respuesta:

a) \(x=3t+3\), \(y=5\), \(z=-3t+7\).

b) \(x=2t+2\), \(y=-t-3\), \(z=3t+4\).

c) \(x=13t\), \(y=-12t\), \(z=-8t\).


2. Determinar si los siguientes pares de rectas \(L_1\), \(L_2\) son paralelas, se cruzan o se interceptan. En este último caso, hallar el punto de intersección.

a. Primer par de rectas:

$$ L_1: x-2 = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{3} $$

$$ L_2: \frac{x-5}{3} = \frac{y-1}{2} = z-4 $$

b. Segundo par de rectas:

$$ L_1: \frac{x-6}{2} = \frac{y-5}{2} = \frac{z-7}{3} $$

$$ L_2: \frac{x-7}{3} = \frac{y-5}{3} = \frac{z-10}{5} $$

c. Tercer par de rectas:

$$ L_1: \frac{x-7}{6} = \frac{y+5}{4} = \frac{z-9}{8} $$

$$ L_2: \frac{x-11}{9} = \frac{y-7}{6} = \frac{z-13}{12} $$


3. Calcular el valor de \(b\) para que las rectas \(r\) y \(s\) se corten. Hallar dicho punto de corte.

$$ r: \frac{x-1}{2}=\frac{y+5}{-3}=\frac{z+1}{2}~~~s: \frac{x}{4}=y-b=\frac{z-1}{2} $$

Solución: Solución ejercicio 03 | Geometría analítica


4. Demuestre que la recta que pasa por los puntos (2,-1,-5) y (8,8,7) es paralela a la recta que pasa por los puntos (4,2,-6) y (8,8,2).


5. Demuestre que la recta que pasa por los puntos (0,1,1) y (1,-1,6) es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-4,2,1) y (-1,6,2).


6. Si dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes \(m_1 . m_2 = -1\). Determinar la ecuación de la recta que pasa por \(A(3,5)\) y es perpendicular a la recta \(3x-2y-1=0\).


7. En cada caso, encuentre la ecuación de:

a. El plano que pasa por el punto (1,-1,1) y tiene vector normal \(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\).

b. El plano que pasa por el punto (6,3,2) y es perpendicular al vector \(-2\hat{i}+\hat{j}+5\hat{k}\).

c. El plano que pasa por el punto (-2,8,10) y es perpendicular a la recta con ecuaciones paramétricas \(x=1+t\), \(y=2t\), \(z=4-3t\).

d. El plano que pasa por el punto (4,-2,3) y es paralelo al plano \(3x-7z=12\).

e. El plano que contiene a la recta con ecuaciones paramétricas \(x=3+2t\), \(y=t\), \(z=8-t\) y es paralelo al plano \(2x+4y+8z=17\).

f. El plano que pasa por los puntos (3,-1,2), (8,2,4), (-1,-2,-3). Resolver este problema por dos métodos diferentes.

g. El plano que pasa por el punto (-1,2,1) y contiene la recta de intersección de los planos \(x+y-z=2\) y \(2x-y+3z=1\).

Solución: Ejercicio resuelto 7g | Ecuación de un plano que contiene punto y recta de intersección

Respuestas:

a) \(x+y-z=-1\).

b) \(-2x+y+5z=1\).

c) \(x+2y-3z=-14\).

d) \(3x-7z=-9\).

e) \(2x+4y+8z=70\).

f) \(-13x+17y+7z=-42\).

g) \(x-2y+4z=-1\).


8. Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos. Si dos planos no son paralelos, entonces se cortan en una recta y el ángulo entre los dos planos se define como el ángulo agudo entre sus vectores normales. Verifique que las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección de los planos \(z=x+y\) y \(2x-5y-z=1\) son,

$$x=6t,~y=-\frac{1}{6}+t,~z=-\frac{1}{6}+7t$$

y que el ángulo entre ellos es \(77.82°\).

Solución: Ejercicio resuelto 8 | Geometría analítica


9. Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por el punto (0,1,2), es paralela al plano \(x+y+z=2\) y perpendicular a la recta \(x=1+t\), \(y=1-t\), \(z=2t\). Respuesta: \(x=3t\), \(y=1-t\), \(z=2-2t\).


10. Halle la distancia del punto (2,8,5) al plano \(x-2y-2z=1\). Respuesta: 25/3.

Solución: Ejercicio resuelto 10 | Geometría analítica


12. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos \(A(4,-1,3)\) y \(B(-1,3,4)\).


13. Hallar la ecuación del plano que contiene los puntos \(P(1,-3,2)\), \(Q(2,3,-1)\) y \(R(-1,2,1)\).


14. Determine el plano que contiene las rectas:

$$ L_1: \frac{x-3}{2}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z-5}{4}~~~\text{y}~~~L_2: \frac{x-1}{-2}=\frac{y-7}{4}=\frac{z-1}{-3} $$


16. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la recta,

$$ \frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1} $$

con el plano \(\pi: x-2y+5z+1=0\), y es paralelo a las rectas,

$$ s: \frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=z+1~~~y~~~w: x=y-2=\frac{z+4}{-2} $$

Solución: Geometría analítica | Solución ejercicio 16 | Rectas y planos


17. Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que es paralela a los planos \(\pi_1: x-3y+z=0\) y \(\pi_2: 2x-y+3z-5=0\) y pasa por el punto \( (2,-1,5) \).

Solución: Solución de ejercicio 17 | Geometría Analítica


18. Determinar el valor de la variable \(b\) para que las siguientes rectas en el espacio se intersequen. Hallar el punto de intersección:

$$ \overleftrightarrow{L_1}:~\frac{x-1}{2}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z+2}{3}~~~~~~\overleftrightarrow{L_2}:~x+7=\frac{y-b}{2}=\frac{z-1}{-6} $$

Solución: Ejercicio resuelto 18 | Geometría analítica


19. Hallar la distancia entre las siguientes rectas:

$$ \overleftrightarrow{L_1}:~\frac{x-2}{3}=y+1=\frac{z}{2} $$

$$ \overleftrightarrow{L_2}:~x = \frac{y-1}{2} = \frac{z+3}{4} $$

Solución: Ejercicio resuelto 19 | Distancia entre dos rectas en R3


20. La recta con ecuación,

$$ \overleftrightarrow{L_1}:~x=\frac{2-y}{-1}=1-z $$

se interseca con el plano \( \pi: 3x-y+z-3=0 \) en el punto G. Hallar la ecuación general del plano que contiene al punto G y a la recta,

$$ \overleftrightarrow{L_2}:~x=y+5=\frac{z-10}{2} $$

Solución: Geometría analítica | Solución ejercicio 20 | Rectas y planos


21. La recta con ecuación,

$$ \overleftrightarrow{L_1}:~\frac{2-x}{-1}=1-y=z $$

se interseca con el plano \( \pi: x-y-3z+2=0 \) en el punto G. Hallar la ecuación general del plano que contiene al punto G y a la recta,

$$ \overleftrightarrow{L_2}:~\frac{x-1}{2}=y=\frac{z-2}{3} $$

Solución: Geometría analítica | Solución ejercicio 21 | Rectas y planos


22. Se tiene el plano \( \pi: x+y+2z=1 \), el punto R(0,1,2) y la recta \(l\):

$$ x=-1+t $$

$$ y=1-t $$

$$ z=2t $$

Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene a R, es perpendicular a \( l \) y paralela a \( \pi \).

Solución: Geometría analítica | Solución ejercicio 22 | Rectas y planos


23. Se tiene el plano \( \pi: x+y-z=0 \), el punto R(0,2,1) y la recta \(l\):

$$ x=1-t $$

$$ y=1+t $$

$$ z=2t $$

Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene a R, es perpendicular a \( l \) y paralela a \( \pi \).

Solución: Geometría analítica | Solución ejercicio 23 | Rectas y planos


24. Hallar la forma simétrica de la ecuación de la recta que pasa por el punto \(P(1,-2,0)\), es paralela al plano \(\pi: 2x+y=3\) y es perpendicular a la recta

$$ \overleftrightarrow{r}: x=y-1=z $$

Solución: Ej. 24 | Recta que pasa por un punto, paralela a un plano y perpendicular a otra recta


25. Dadas las siguientes rectas:

$$ \overleftrightarrow{l1}: \frac{x+2}{-2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+k}{-2} $$

$$ \overleftrightarrow{l2}: $$

$$ x=-4+4t $$

$$ y=-1+3t $$

$$ z=-4+5t $$

Calcular:

a) El valor de \(k\) para que las rectas se corten (se intersequen).

b) El punto de intersección de las rectas.

Solución: Ej. 25 | Ecuaciones paramétricas y simétricas | Rectas que se cortan


26. Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto P de intersección de la recta

$$ \overleftrightarrow{l}: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1} $$

con el plano

$$ \pi_1: x-2y+5z+1=0 $$

y contiene a la recta \( \overleftrightarrow{r} \) de intersección de los planos

$$ \pi_2: x+y-z=2 $$

y

$$ \pi_3: 2x-y+3z=1 $$

Solución: Ej. 26 | Ecuación de un plano que pasa por un punto y contiene a una recta


27. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta \( \overleftrightarrow{L_1} \) que pasa por el punto \( Q(3,-2,1) \) y es ortogonal e interseca a la recta

$$ \overleftrightarrow{L_2}:~~~x+1=\frac{y-2}{2}=\frac{4-z}{3} $$

Hallar, adicionalmente, las coordenadas del punto de intersección de \( \overleftrightarrow{L_1} \) y \( \overleftrightarrow{L_2} \).

Solución: Ej. 27 | Ecuación de recta que pasa por punto y es ortogonal e interseca a otra recta


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24. Hallar la forma simétrica de la ecuación de la recta que pasa por el punto \(P(1,-2,0)\), es paralela al plano \(\pi: 2x+y=3\) y es perpendicular a la recta

$$ \overleftrightarrow{r}: x=y-1=z $$

SOLUCIÓN

La forma simétrica de la ecuación de una recta que solicita el problema se escribe así:

$$ \frac{x-p_1}{d_1}=\frac{y-p_2}{d_2}=\frac{z-p_3}{d_3} $$

Un vector de componentes \( (p_1,p_2,p_3) \) se puede definir usando las coordenadas del punto \( P \). Sólo nos queda hallar un vector director de componentes \( (d_1,d_2,d_3) \) que sea paralelo al plano y perpendicular a la recta r. Si un vector es paralelo a un plano, entonces es perpendicular a su vector normal. Esto nos lleva a que el vector director buscado es perpendicular tanto dicho vector normal como al vector director de la recta r. Nuestro análisis se completa al pensar que un vector que es perpendicular a otros dos, se puede hallar usando un producto cruz entre esos dos vectores.

Hallemos el vector normal al plano \( \pi \). Sus componentes son los coeficientes de las variables x, y, z en la ecuación del plano. Es importante tener en cuenta que el problema no incluye a la variable z en la ecuación del plano, debido a que su coeficiente es cero, pero nada nos impediría escribirla como 2x+y+0z=3.

$$ \overrightarrow{n} = (2,1,0) $$

El vector director de la recta lo podemos hallar de los denominadores en la forma simétrica de la ecuación de la recta r, siempre y cuando ésta tenga la forma estándar. Miremos:

$$ \frac{x-0}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-0}{1} $$

El vector director es:

$$ d_r=(1,1,1) $$

Hallamos ahora el producto cruz entre estos dos vectores para calcular el vector director de la recta buscada:

$$ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{n} \times \overrightarrow{d}_r = (2,1,0) \times (1,1,1) = (1,-2,1) $$

También pudimos haber realizado la operación en el otro orden, como dr x n, y habría resultado un vector (-1,2,-1), el cual es igual de útil. Finalmente, la forma simétrica de la ecuación de la recta buscada es:

$$ \frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-0}{1} $$

Tuvimos en cuenta que el problema nos da el punto que pertenece a la recta, el cual es \(P(1,-2,0)\). Se podría dejar escrita así:

$$ x-1=\frac{y+2}{-2}=z $$

Si hubiésemos usado el otro vector director (-1,2,-1), hubiésemos obtenido otra forma igual de válida:

$$ 1-x=\frac{y+2}{2}=-z $$

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18. Hallar un vector \(\overrightarrow{A}\) en la misma dirección del vector \(\overrightarrow{B}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\) que determine con el vector \(\overrightarrow{w}=-2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) un paralelogramo de área 25 unidades cuadradas.

Solución

Se posee:

$$ \overrightarrow{B}=(1,-2,3) ~~~\text{Ec. 1}$$

$$ \overrightarrow{w}=(-2,4,-1) ~~~ \text{Ec. 2} $$

$$ \text{Área}=25 ~~~\text{Ec. 3}$$

Si el vector \(\overrightarrow{A}\) tiene la misma dirección que el vector \(\overrightarrow{B}\), entonces el vector \(\overrightarrow{A}\) puede escribirse como:

$$ \overrightarrow{A}= t \overrightarrow{B}~~~\text{Ec. 4}$$

Siendo \(t\) un escalar. También es necesario recordar que se puede demostrar que el área de un paralelogramo en R3 puede definirse por dos vectores. En este caso, los vectores que definen el paralelogramo en R3 son \(\overrightarrow{A}\) y \(\overrightarrow{w}\), y su área se puede calcular resolviendo:

$$ \text{Área} = \| \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{A} \| = \| \overrightarrow{w} \| \| \overrightarrow{A} \| \sin \theta~~~\text{Ec. 5} $$

Escribimos entonces, de 2 y 4 en 5:

$$ 25 = \| \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{A} \| = \| \overrightarrow{w} \times t \overrightarrow{B} \| $$

Se puede calcular primero el producto cruz y aprovechar una propiedad del álgebra vectorial asociada al producto cruz (puede demostrarse fácilmente) que consiste en sacar al escalar \(t\) fuera del paréntesis:

$$ \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{A} = \overrightarrow{w} \times t \overrightarrow{B} = t ( \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{B} ) $$

$$ \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{A} = t ( (-2,4,-1) \times (1,-2,3) ) $$

$$ \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{A} = t ( \left[ (4)(3)-(-1)(-2) \right] \hat{i} + \left[ (-1)(1)-(-2)(3) \right] \hat{j} + \left[ (-2)(-2)-(4)(1) \right] \hat{k} ) $$

$$ \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{A} = t ( \left[ 12-2 \right] \hat{i} + \left[ -1+6 \right] \hat{j} + \left[ 4-4 \right] \hat{k} ) $$

$$ \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{A} = t ( \left[ 10 \right] \hat{i} + \left[ 5 \right] \hat{j} + \left[ 0 \right] \hat{k} ) $$

Ahora, se calcula la magnitud del producto cruz usando una propiedad para hallar la magnitud de un vector por un escalar, que consiste en calcular el valor absoluto del escalar y multiplicarlo por la magnitud del vector:

$$ \| \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{A} \| = |t|~ ( \sqrt{ 10^2 + 5^2 + 0^2 } ) = |t| \sqrt{125} = 5 |t| \sqrt{5} $$

Dado que la magnitud del producto cruz es igual al área del paralelogramo, podemos igualar a 25:

$$ 5 |t| \sqrt{5} = 25 $$

Dado que 25 y \(\sqrt{5}\) son positivos, podemos escribir:

$$ t = \frac{25}{5 \sqrt{5}} = \frac{5 \sqrt{5}}{5}$$

Finalmente:

$$ t = \sqrt{5} $$

De 4, se obtiene la respuesta a este problema:

$$ \overrightarrow{A} = t (1,-2,3) $$

$$ \overrightarrow{A} = (\sqrt{5},-2 \sqrt{5},3 \sqrt{5}) $$