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ÁNGULOS

1. Encontrar la medida de un ángulo sabiendo que 4 veces su medida es igual a 5 veces la medida de su suplemento.


2. ¿Si uno de dos ángulos suplementarios tiene una medida de 50 más que la del otro, cuál es la medida de cada ángulo?


3. Las semirrecta \(OA~OB,~OC\) y \(OD\) son coplanares (se encuentran en un mismo plano) y forman ángulos tales que: \(m(D\hat{O}A)=m(C\hat{O}B)=2m(A\hat{O}B)\), \(m(C\hat{O}D)=3m(A\hat{O}B)\). Hallar la medida de cada uno de los ángulos.


4. Demostrar que si dos ángulos agudos u obtusos, con vértice común, tienen sus lados respectivamente perpendiculares, sus bisectrices son perpendiculares. Sugerencia: considere los ángulos con vértice común.


5. Si \(m(B\hat{O}C) = 45°\), \(m(C\hat{O}D) = 85°\), hallar la \(m(BOD)\) si:
a. C es interior a \(B\hat{O}D\).
b. C es exterior a \(B\hat{O}D\).


6. Las semirrectas \(\overrightarrow{OA}\) y \(\overrightarrow{OB}\) forman con \(\overrightarrow{OX}\) los ángulos \(\alpha\) y \(\beta\) (\(\overrightarrow{OX}\) exterior a \(A\hat{O}B)\). Demostrar que la bisectriz del ángulo \(A\hat{O}B\) forma con \(\overrightarrow{OX}\) un ángulo igual a \((\alpha + \beta)/2\).

Solución: Solución ejercicio 06 | Ángulos | Geometría Euclidiana


7. Cinco semirrectas consecutivas \(OA,~OB,~OC,~OD,~OE\), forman 5 ángulos adyacentes consecutivos. Calcular estos ángulos sabiendo que los cuatro primeros son entre sí como 1, 2, 3, 4 y que \(OD\) es la prolongación de la bisectriz del ángulo \(A\hat{O}B\).


8. Sean los ángulos \(A\hat{O}B\) y \(B\hat{O}C\) adyacentes, tales que \(m(A\hat{O}B)-m(B\hat{O}C)=40^\circ\). Si \(\overrightarrow{OX}\), \(\overrightarrow{OY}\) y \(\overrightarrow{OZ}\) son las bisectrices de \(A\hat{O}B\), \(B\hat{O}C\) y \(X\hat{O}Y\), respectivamente, hallar la medida del ángulo que forma \(\overrightarrow{OZ}\) con \(\overrightarrow{OB}\).

Solución: Ejercicio resuelto 08 | Ángulos | Geometría Euclidiana


9. Se tienen dos ángulos adyacentes \(A\hat{O}B\) y \(B\hat{O}C\), con \(A\hat{O}B<B\hat{O}C\). Se traza la bisectriz \(\overrightarrow{OM}\) de \(A\hat{O}C\). Si los ángulos \(B\hat{O}C\) y \(B\hat{O}M\) miden \(60°\) y \(20°\), respectivamente, calcular la medida de \(A\hat{O}B\).

Solución: Solución ejercicio 9 | Ángulos | Geometría Euclidiana


10. Las semirrectas \(\overrightarrow{OA}\) y \(\overrightarrow{OB}\) forman con la semirrecta \(\overrightarrow{OX}\) los ángulos \(\alpha\) y \(\beta\), respectivamente, con \(\alpha>\beta\) y \(\overrightarrow{OX}\) en el interior de \(A\hat{O}B\). Demostrar que la bisectriz \(\overrightarrow{OC}\) de \(A\hat{O}B\) forma con \(\overrightarrow{OX}\) un ángulo cuya medida es \( (\alpha - \beta) / 2\).

Solución: Ejercicio resuelto 10 | Ángulos | Geometría Euclidiana


11. Se tienen los ángulos \(A\hat{O}B\) y \(B\hat{O}C\) adyacentes, con \(C\) exterior al ángulo \(A\hat{O}B\) y \(m(A\hat{O}B)>m(B\hat{O}C)\). Adicionalmente, \(m(A\hat{O}B)-m(B\hat{O}C)=30°\). Hallar la medida del ángulo \(B\hat{O}M\).

Solución: Solución ejercicio 11 | Ángulos | Geometría Euclidiana


12. Se tienen los ángulos consecutivos \(A\hat{O}B\), \(B\hat{O}C\) y \(C\hat{O}D\), tal que \(m(A\hat{O}C)=m(B\hat{O}D)=90°\). Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos \(A\hat{O}B\) y \(C\hat{O}D\).

Solución: Ejercicio resuelto 12 | Ángulos | Geometría Euclidiana

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19. (Dificultad: 8/10Sean \(A,~B,~C\) puntos colineales en ese orden tales que \(AB-BC=k\), con \(k\) un número positivo. Si \(M\) y \(N\) son puntos medios de \(\overline{AB}\) y \(\overline{BC}\), respectivamente, y \(P\) es punto medio de \(\overline{MN}\). Demuestre que:

$$ PB=\frac{k}{4} $$

Solución

Hipótesis

$$ 1.~A-B-C $$

$$ 2.~AB-BC=k $$

$$ 3.~k>0 $$

$$ 4.~\text{M punto medio de}~\overline{AB} $$

$$ 5.~\text{N punto medio de}~\overline{BC} $$

$$ 6.~\text{P punto medio de}~\overline{MN} $$

Tesis

$$ PB=\frac{k}{4} $$

 

  Proposición Razón
7.  $$ MN=MB+BN $$ Por suma de segmentos adyacentes.
8. $$ MB=\frac{AB}{2} $$ De 4. Por definición de punto medio de un segmento.
9. $$ BN=\frac{BC}{2} $$ De 5. Por definición de punto medio de un segmento.
10. $$ MN=\frac{AB}{2}+\frac{BC}{2}=\frac{AB+BC}{2} $$ Sustitución de 8 y 9 en 7. 
11. $$ MN=MP+PN $$ Por suma de segmentos adyacentes.
12. $$ MP=PN $$ De 6. Por definición de punto medio de un segmento.
13. $$ MN=PN+PN=2PN $$ Sustitución de MP por PN. De 12 en 11.
14. $$ PN=PB+BN $$ Por suma de segmentos adyacentes.
15. $$ MN=2(PB+BN) $$ Sustitución de 14 en 13.
16. $$ \frac{AB+BC}{2}=2(PB+BN) $$ Transitividad entre 10 y 15.
17. $$ \frac{AB+BC}{4}=PB+BN $$ De 16.
18. $$ PB=\frac{AB+BC}{4}-BN $$ De 17. Se despeja PB.
19. $$ PB=\frac{AB+BC}{4}-\frac{4BN}{4} $$ De 18. Propiedad de los reales.
20. $$ PB=\frac{AB+BC-4BN}{4} $$ De 19. Suma de fracciones.
21. $$ PB=\frac{AB-4BN+BC}{4} $$ De 20. Se ordenan términos.
22. $$ PB=\frac{AB-(4BN-BC)}{4} $$ De 21. Se saca factor común -1.
23. $$ PB=\frac{AB-(4(BC/2)-BC)}{4} $$ Sustitución de 9 en 22.
24. $$ PB=\frac{AB-(2BC-BC)}{4} $$ De 23.
25. $$ PB=\frac{AB-BC}{4} $$ De 24.
26. $$ PB=\frac{k}{4} $$ Sustitución de AB-BC por k. De 2 en 25. TESIS.
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17. (Dificultad: 6/10Considere los puntos \(A-M-B-N\) que cumplen con la siguiente condición:

$$ \frac{AM}{BM}=\frac{AN}{BN} $$

Si \(O\) es el punto medio de \(\overline{AB}\), demostrar que:

$$ (OA)^2=OM.ON $$

Solución

Hipótesis:

$$1.~A-M-B-N $$

$$2.~\frac{AM}{BM}=\frac{AN}{BN} $$

$$3*.~\text{O punto medio de}~\overline{AB} $$

Tesis:

$$ (OA)^2=OM.ON $$

  Proposición Razón
3. $$ AM=OA+OM $$ Por suma de segmentos adyacentes.
4. $$ BM=OB-OM $$ Por suma de segmentos adyacentes.
5. $$ AN=OA+ON $$ Por suma de segmentos adyacentes.
6. $$ BN=ON-OB $$ Por suma de segmentos adyacentes.
7. $$ \frac{OA+OM}{OB-OM}=\frac{OA+ON}{ON-OB} $$ Sustitución de 3, 4, 5 y 6 en 2 (hipótesis).
8. $$ OB=OA $$ De 3* (hipótesis). Por la definición de punto medio de un segmento.
9. $$ \frac{OA+OM}{OA-OM}=\frac{OA+ON}{ON-OA} $$ Sustitución de 8 en 7.
10. $$ (OA+OM)(ON-OA)=(OA+ON)(OA-OM) $$ De 9. Por propiedad de los reales.
11. $$ OA.ON-OA^2+OM.ON-OM.OA=OA^2-OA.OM+ON.OA-ON.OM $$ De 10.
12. $$ 2OM.ON=2OA^2 $$ De 11.
13. $$ OA^2=OM.ON $$ De 12. Por propiedad de los reales. TESIS.
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18. Considere los puntos \(A-B-P-C\), de modo que \(P\) es punto medio de \(\overline{BC}\) y, además, \( (AB)^2+(AC)^2=46\). Hallar el valor de \( (AP)^2+(BP)^2 \).

Solución

Hipótesis

$$ 1.~A-B-P-C $$

$$ 2.~\text{P punto medio de}~\overline{BC} $$

$$ 3.~(AB)^2+(AC)^2=46 $$

Tesis

$$ (AP)^2+(BP)^2 $$

  Proposición Razón
4. $$ AB=AP-BP $$ Por suma de segmentos adyacentes.
5. $$ AC=AP+PC $$ Por suma de segmentos adyacentes.
6. $$ (AP-BP)^2+(AP+PC)^2=46 $$ Sustitución de 4 y 5 en 3.
7. $$ (AP^2-2AP.BP+BP^2)+(AP^2+2AP.PC+PC^2)=46 $$ De 6.
8. $$ PC=BP $$ De 2. Por definición de punto medio de un segmento.
9. $$ AP^2-2AP.BP+BP^2+AP^2+2AP.BP+BP^2=46 $$ Sustitución de PC por BP de 8 en 7.
10. $$ (AP^2+BP^2)+(AP^2+BP^2)=46 $$ De 9.
11. $$ 2(AP^2+BP^2)=46 $$ De 10.
12. $$ AP^2+BP^2=\frac{46}{2} $$ De 11.
13. $$ AP^2+BP^2=23 $$ De 12. TESIS.
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16. (Dificultad: 7/10Considere los puntos \(A-M-B-N\) que cumplen con la siguiente condición:

$$ \frac{AM}{BM}=\frac{AN}{BN} $$

Demostrar que:

$$ \frac{2}{AB}=\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN} $$

Solución

Hipótesis:

$$1.~A-M-B-N $$

$$2.~\frac{AM}{BM}=\frac{AN}{BN} $$

Tesis:

$$ \frac{2}{AB}=\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN} $$

  Proposición Razón
3. $$BM=AB-AM$$ Por suma de segmentos adyacentes.
4. $$BN=AN-AB$$ Por suma de segmentos adyacentes.
5. $$ \frac{AM}{AB-AM}=\frac{AN}{AN-AB} $$ Sustitución de 3 y 4 en 2.
6. $$ AM(AN-AB)=AN(AB-AM) $$ De 5. Por propiedad de los reales.
7. $$ AM.AN-AM.AB=AN.AB-AN.AM $$ De 6.
8. $$ AM.AN+AN.AM=AN.AB+AM.AB $$ De 7.
9. $$ 2AM.AN=(AN+AM)AB $$ De 8. Sumo términos a la izquierda y saco factor común \(AB\) a la derecha.
10. $$ \frac{2}{AB}=\frac{AN+AM}{AM.AN} $$ De 9. Por propiedad de los reales.
11. $$ \frac{2}{AB}=\frac{AN}{AM.AN}+\frac{AM}{AM.AN} $$ De 10.
12. $$ \frac{2}{AB}=\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN} $$ De 11. TESIS.