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18. Hallar un vector \(\overrightarrow{A}\) en la misma dirección del vector \(\overrightarrow{B}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\) que determine con el vector \(\overrightarrow{w}=-2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) un paralelogramo de área 25 unidades cuadradas.

Solución

Se posee:

$$ \overrightarrow{B}=(1,-2,3) ~~~\text{Ec. 1}$$

$$ \overrightarrow{w}=(-2,4,-1) ~~~ \text{Ec. 2} $$

$$ \text{Área}=25 ~~~\text{Ec. 3}$$

Si el vector \(\overrightarrow{A}\) tiene la misma dirección que el vector \(\overrightarrow{B}\), entonces el vector \(\overrightarrow{A}\) puede escribirse como:

$$ \overrightarrow{A}= t \overrightarrow{B}~~~\text{Ec. 4}$$

Siendo \(t\) un escalar. También es necesario recordar que se puede demostrar que el área de un paralelogramo en R3 puede definirse por dos vectores. En este caso, los vectores que definen el paralelogramo en R3 son \(\overrightarrow{A}\) y \(\overrightarrow{w}\), y su área se puede calcular resolviendo:

$$ \text{Área} = \| \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{A} \| = \| \overrightarrow{w} \| \| \overrightarrow{A} \| \sin \theta~~~\text{Ec. 5} $$

Escribimos entonces, de 2 y 4 en 5:

$$ 25 = \| \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{A} \| = \| \overrightarrow{w} \times t \overrightarrow{B} \| $$

Se puede calcular primero el producto cruz y aprovechar una propiedad del álgebra vectorial asociada al producto cruz (puede demostrarse fácilmente) que consiste en sacar al escalar \(t\) fuera del paréntesis:

$$ \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{A} = \overrightarrow{w} \times t \overrightarrow{B} = t ( \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{B} ) $$

$$ \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{A} = t ( (-2,4,-1) \times (1,-2,3) ) $$

$$ \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{A} = t ( \left[ (4)(3)-(-1)(-2) \right] \hat{i} + \left[ (-1)(1)-(-2)(3) \right] \hat{j} + \left[ (-2)(-2)-(4)(1) \right] \hat{k} ) $$

$$ \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{A} = t ( \left[ 12-2 \right] \hat{i} + \left[ -1+6 \right] \hat{j} + \left[ 4-4 \right] \hat{k} ) $$

$$ \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{A} = t ( \left[ 10 \right] \hat{i} + \left[ 5 \right] \hat{j} + \left[ 0 \right] \hat{k} ) $$

Ahora, se calcula la magnitud del producto cruz usando una propiedad para hallar la magnitud de un vector por un escalar, que consiste en calcular el valor absoluto del escalar y multiplicarlo por la magnitud del vector:

$$ \| \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{A} \| = |t|~ ( \sqrt{ 10^2 + 5^2 + 0^2 } ) = |t| \sqrt{125} = 5 |t| \sqrt{5} $$

Dado que la magnitud del producto cruz es igual al área del paralelogramo, podemos igualar a 25:

$$ 5 |t| \sqrt{5} = 25 $$

Dado que 25 y \(\sqrt{5}\) son positivos, podemos escribir:

$$ t = \frac{25}{5 \sqrt{5}} = \frac{5 \sqrt{5}}{5}$$

Finalmente:

$$ t = \sqrt{5} $$

De 4, se obtiene la respuesta a este problema:

$$ \overrightarrow{A} = t (1,-2,3) $$

$$ \overrightarrow{A} = (\sqrt{5},-2 \sqrt{5},3 \sqrt{5}) $$

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Ejercicio 19 | Distancia entre dos rectas en R3

Hallar la distancia entre las dos rectas:

$$ \overleftrightarrow{L_1}:~\frac{x-2}{3}=y+1=\frac{z}{2} $$

$$ \overleftrightarrow{L_2}:~x = \frac{y-1}{2} = \frac{z+3}{4} $$

Solución

Las ecuaciones simétricas de las rectas \(\overleftrightarrow{L_1}\) y \(\overleftrightarrow{L_2}\) se pueden reescribir como:

$$ \overleftrightarrow{L_1}:~\frac{x-2}{3}=\frac{y-(-1)}{1}=\frac{z-0}{2} $$

$$ \overleftrightarrow{L_2}:~\frac{x-0}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-(-3)}{4} $$

De ellas se pueden obtener los puntos que pertenecen a las rectas y los vectores directores.

Para \(\overleftrightarrow{L_1}\):

$$ P_1(2,-1,0) $$

$$ \overrightarrow{d_1}=(3,1,2) $$

Para \(\overleftrightarrow{L_2}\):

$$ P_2(0,1,-3) $$

$$ \overrightarrow{d_2}=(1,2,4) $$

Para hallar la distancia entre dos rectas es necesario recordar la definición de la distancia entre un punto y una recta, la cual es la medida del segmento que va desde el punto hasta la recta, llegando perpendicular sobre la recta. En este caso, es necesario pensar que esta situación se repite dos veces, una para cada recta, con un punto sobre cada recta. De este modo, es necesario visualizar la distancia entre dos rectas como la medida del segmento que va desde un punto de una recta hasta un punto de la otra recta, pero en ambas, ese punto es el pie de una perpendicular. Se requiere, entonces, garantizar, mediante una operación vectorial, dicha perpendicularidad a ambas rectas. Aquí entra en juego el producto vectorial o producto cruz entre los dos vectores directores:

$$ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2} $$

$$ \overrightarrow{n} = (3,1,2) \times (1,2,4) $$

$$ \overrightarrow{n} = \left[ (1)(4) - (2)(2) \right] \hat{i} + \left[ (2)(1) - (3)(4) \right] \hat{j} + \left[ (3)(2) - (1)(1) \right] \hat{k} $$

$$ \overrightarrow{n} = 0 \hat{i} - 10 \hat{j} + 5 \hat{k} $$

$$ \overrightarrow{n} = (0,-10,5) $$

La operación anterior resultó en un vector \(\overrightarrow{n}\) perpendicular a ambos vectores \(\overrightarrow{d_1}\) y \(\overrightarrow{d_2}\) y, por ende, perpendicular a ambas rectas. Podemos ahora imaginar dos planos que contienen a cada una de las rectas. Estos planos pueden definirse usando el vector normal (\overrightarrow{n}\) hallado, luego, los planos serían paralelos.

Ahora, se debe pensar en que se tienen los puntos \(P_1(2,-1,0)\) y \(P_2(0,1,-3)\) para cada recta. Será posible, entonces, hallar un vector definido por estos dos puntos y proyectarlo sobre el vector \(\overrightarrow{n}\) para así obtener la distancia entre las dos rectas requerida:

$$ \overrightarrow{P_1P_2} = \overrightarrow{P_2}-\overrightarrow{P_1} = (2,-1,0)-(0,1,-3) $$

$$ \overrightarrow{P_1P_2} = (2,-2,3) $$

La proyección ortogonal del vector \(\overrightarrow{P_1P_2}\) sobre el vector \(\overrightarrow{n}\) es:

$$ \overrightarrow{l} = Proy_{\overrightarrow{n}} \overrightarrow{P_1P_2} = \left( \frac{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{P_1P_2}}{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n}} \right) \overrightarrow{n} $$

$$ \overrightarrow{l} = Proy_{\overrightarrow{n}} \overrightarrow{P_1P_2} = \left( \frac{(0,-10,5) \cdot (2,-2,3)}{(0,-10,5) \cdot (0,-10,5)} \right) (0,-10,5) $$

$$ \overrightarrow{l} = \frac{7}{25} (0,-10,5) $$

$$ \overrightarrow{l} = (0,-14/5,7/5) $$

La distancia entre las dos rectas es la magnitud del vector \(\overrightarrow{l}\):

$$ \| \overrightarrow{l} \| = \sqrt{(-14/5)^2+(7/5)^2} $$

$$ \| \overrightarrow{l} \| = \sqrt{\left(\frac{49}{5}\right)} = 3.13 $$

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7g. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto \(P(-1,2,1) \) y contiene la recta de intersección de los planos \(\pi_1: x+y-z=2\) y \(\pi_2: 2x-y+3z=1\).

Desarrollo

El problema se puede resolver hallando primero un vector director que resulta de calcular el producto vectorial (producto cruz) entre los vectores normales a los planos, que pueden obtenerse de las dos ecuaciones para los planos \(\pi_1\) y \(\pi_2\). Posteriormente, se halla un punto que esté contenido en la recta de intersección de ambos planos, para luego definir un vector paralelo al plano que sea útil para hallar un vector normal al plano solicitado por el problema.

 

Las componentes de los vectores normales a los planos se pueden obtener de los coeficientes que acompañan a las variables \(x, y, z\) en las dos ecuaciones generales de los planos \(\pi_1\) y \(\pi_2\), así:

$$ \text{Para}~\pi_1: \overrightarrow{n_1}=(1,1,-1) $$

$$ \text{Para}~\pi_2: \overrightarrow{n_2}=(2,-1,3) $$

Ahora, hallamos un vector director para la recta de intersección de los planos \(\pi_1\) y \(\pi_2\). Este vector director será paralelo a la recta. Calculamos para ello el siguiente producto vectorial:

$$ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{n_2} \times \overrightarrow{n_1} $$

$$ \overrightarrow{d}=  (2,-1,3) \times (1,1,-1) = [(-1)(-1)-(3)(1)] \overrightarrow{i} $$

$$ + [(3)(1)-(2)(-1)] \overrightarrow{j} + [(2)(1)-(-1)(1)] \overrightarrow{k} $$

$$ \overrightarrow{d}=  -2 \overrightarrow{i} + 5 \overrightarrow{j} + 3 \overrightarrow{k} $$

$$ \overrightarrow{d}=  (-2,5,3) $$

Luego, se puede hallar un punto sobre la recta de intersección de \(\pi_1\) y \(\pi_2\), tomando las ecuaciones generales de cada plano y haciendo \(z=0\) en ambas. Esto definirá un plano \(z=0\) que cortará a ambos planos.

$$ \text{Para}~\pi_1~y~z=0:~x+y=2~~~(Ec. 1) $$

$$ \text{Para}~\pi_2~y~z=0:~2x-y=1~~~(Ec. 2) $$

Resolvemos el sistema de ecuaciones anterior sumándolas, lo cual resulta:

$$ 3x=3 $$

$$ x=1~~~(Ec. 3)$$

Se sustituye la Ec. 3 en la Ec. 1 para obtener:

$$ y=1~~~(Ec. 4) $$

Al hacer \(z=0\) y resolver el sistema de ecuaciones de 2 x 2 se acaba de obtener un punto \(Q(1,1,0)\), el cual es el punto en donde el plano \(z=0\) corta a la recta de intersección entre los planos \(\pi_1\) y \(\pi_2\). Las ecuaciones Ec. 1 y Ec. 2 son las rectas en \(R^2\) que corresponden a las intersecciones de los planos \(\pi_1\) con el plano \(z=0\) y los planos \(\pi_2\) con el plano \(z=0\). Posteriormente, se define un vector:

$$ \overrightarrow{QP} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{Q} = (-1,2,1)-(1,1,0)$$

$$ \overrightarrow{QP} = (-2,1,1) $$

 

Dado que el plano pasa por el punto \(P\) y el punto \(Q\) está contenido en la recta de intersección de \(\pi_1\) y \(\pi_2\), el vector \(\overrightarrow{QP}\) es paralelo al plano que se quiere hallar, el cual se denominará \(\pi_3\). Para hallar dicho plano se puede usar la forma normal de la ecuación de un plano en \(R^3\), para lo cual se requiere de un vector normal \(\overrightarrow{n_3}\) y de un punto contenido en el plano, el cual ya se tiene y es \(P\). El vector normal se puede hallar así:

$$ \overrightarrow{n_3} = \overrightarrow{QP} \times \overrightarrow{d} $$

El resultado de esta operación es:

$$ \overrightarrow{n_3} = (-2,4,8) $$

Ahora, se usa la forma normal de la ecuación de un plano en \(R^3\):

$$ \overrightarrow{n_3} \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{n_3} \cdot \overrightarrow{p} $$

Donde \(\overrightarrow{p}\) es un vector cuyas componentes son las coordenadas del punto \(P\), es decir, un vector con la cola en el origen y cabeza en el punto \(P\). Luego:

$$ (-2,4,-8) \cdot (x,y,z) = (-2,4,-8) \cdot (-1,2,1) $$

Operando, queda:

$$ -2x+4y-8z=2$$

Dividiendo a ambos lados sobre 2:

$$ -x+2y-4z=1 $$

La anterior es la ecuación del plano buscada. Si se multiplica a ambos lados por -1 se puede obtener otra ecuación para el mismo plano:

$$ x-2y+4z=-1 $$

Esta última es la ecuación que se halla como respuesta de este problema.

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Resumen de geometría vectorial

Ángulo entre dos vectores

Aplica para \(R^n\).

$$ \text{cos}~\theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{ \| \overrightarrow{u} \| \| \overrightarrow{v} \|} $$

Vectores ortogonales

Aplica para \(R^n\). Dos vectores son ortogonales si se cumple que:

$$ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$$

Vectores paralelos

Aplica para \(R^n\). Dos vectores son paralelos si se cumple que:

$$ \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v} $$

ó

$$ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = 0 $$

Proyección ortogonal de un vector sobre otro

Aplica para \(R^n\). Se lee "la proyección del vector \(\overrightarrow{u}\) sobre el vector \(\overrightarrow{v}\)", y es otro vector:

$$ \text{Proy}_\overrightarrow{v} \overrightarrow{u} = \left(\frac{\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}}{\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}}\right) \overrightarrow{v} $$ 

Producto vectorial o producto cruz de dos vectores

Aplica para \(R^3\). Esta operación resulta en un vector ortogonal a los dos vectores que se multiplican y siguiendo la regla de la mano derecha:

$$ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2 \right) \overrightarrow{i} + \left( u_3 v_1 - u_1 v_3 \right) \overrightarrow{j} + \left( u_1 v_2 - u_2 v_1 \right) \overrightarrow{k} $$

Se puede demostrar que la magnitud del producto cruz entre dos vectores es el área del paralelogramo definido por los dos vectores y que poseen un ángulo \(\theta\) entre ellos:

$$ \| \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} \| = \| \overrightarrow{u} \| \| \overrightarrow{v} \| \text{sen}\theta $$

Triple producto escalar

Se trata de desarrollar el siguiente producto entre tres vectores: \( \overrightarrow{u} \cdot \left( \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \right) \).

Se puede demostrar que esta operación da como resultado un número real igual al volumen de un paralelepípedo definido por los tres vectores.

Vectores coplanares

Tres vectores son coplanares si y sólo si su triple producto escalar es igual a cero. Tiene lógica. Si tres vectores son paralelos el volumen del paralelepípedo que ellos defienen debe ser igual a cero.

Planos paralelos

Dos planos son paralelos cuando sus vectores normales son paralelos.

 

 

Resumen de geometría analítica | Rectas y planos 

A continuación se presentan las diferentes formas de la ecuación de una recta en el plano, pero antes, las definiciones:

\(\overrightarrow{n}\): un vector ortogonal (perpendicular) a la recta. En R2 \((n_1,n_2)\) y en R3 \((n_1,n_2,n_3)\).

\(\overrightarrow{x}\): vector cuyas componentes son las coordenadas de un punto cualquiera que satisface la ecuación de la recta. En R2 \((x,y)\) y en R3 \((x,y,z)\).

\(\overrightarrow{p}\): vector cuyas componentes son las coordenadas de un punto cualquiera que pertenece a la recta. En R2 \((p_1,p_2)\) y en R3 \((p_1,p_2,p_3)\).

\(a,~b,~c,~d,~e\): números reales.

\(x,~y,~z\): números reales. Son las coordenadas de un punto cualquiera que satisface la ecuación de la recta o el plano en R2 o R3. El conjunto de puntos definido por las coordenadas \((x,y)\) en R2 o \((x,y,z)\) en R3 son los que forman la recta o el plano.

\(t,~s\): son los parámetros. Variar estos parámetros desde menos infinito hasta más infinito y evaluarlos resultaría en las coordenadas de todos los puntos que pertenecen a la recta o al plano en R2 o R3.

\(\overrightarrow{d}\): vector director (paralelo) de la recta, con componentes \((d_1,d_2)\) en R2 y \((d_1,d_2,d_3)\) en R3.

\(\overrightarrow{u}\) y \(\overrightarrow{v}\): vectores directores (paralelos) del plano. Sólo para R3. Componentes \((u_1,u_2,u_3)\) y \((v_1,v_2,v_3)\).

 

Ecuaciones de rectas en R2

Rectas en R2 - Forma normal

$$ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{p} $$

Rectas en R2 - Forma general

Se puede obtener a partir de la forma normal.

$$ ax+by=c $$

Rectas en R2 - Forma vectorial

$$ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + t \overrightarrow{d} $$

Rectas en R2 - Forma paramétrica

Se obtiene de la forma vectorial.

$$ x = p_1 + t d_1 $$

$$ y = p_2 + t d_2 $$

 

Ecuaciones de rectas en R3

Rectas en R3 - Forma vectorial

$$ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + t \overrightarrow{d} $$

Rectas en R3 - Forma paramétrica

Se obtiene de la forma vectorial.

$$ x = p_1 + t d_1 $$

$$ y = p_2 + t d_2 $$

$$ z = p_3 + t d_3 $$

Rectas en R3 - Forma simétrica

Se obtiene de la forma paramétrica al despejar e igualar el parámetro.

$$ \frac{x-p_1}{d_1} = \frac{y-p_2}{d_2} = \frac{z-p_3}{d_3} $$

 

Ecuaciones de Planos en R3

Planos en R3 - Forma normal

$$ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{p} $$

Planos en R3 - Forma general

Se puede obtener a partir de la forma normal.

$$ ax + by + cz = d $$

Planos en R3 - Forma vectorial

$$ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + s \overrightarrow{u} + t \overrightarrow{v} $$

Planos en R3 - Forma paramétrica

Se obtiene de la forma vectorial.

$$ x = p_1 + s u_1 + t v_1 $$

$$ y = p_2 + s u_2 + t v_2 $$

$$ z = p_3 + s u_3 + t v_3 $$

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18. Determinar el valor de la variable \(b\) para que las siguientes rectas en el espacio se intersequen. Hallar el punto de intersección:

$$ \overleftrightarrow{L_1}:~\frac{x-1}{2}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z+2}{3}~~~~~~\overleftrightarrow{L_2}:~x+7=\frac{y-b}{2}=\frac{z-1}{-6} $$

Ejercicio 18 | Geometría Analítica.pdf