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SEGMENTOS DE RECTA

1. Sean \(A-B-C-D\) (colineales) tales que \(AB=9~cm\), \(CA=16~cm\) y \(CD=20~cm\). Si \(E\) es el punto medio de \(\overline{BC}\), calcular la medida de \(\overline{ED}\).


2. Sean \(A-B-C\) y \(D-H-E\) tales que \(AB = DH \) y \(BC = HE\). Demostrar que \(AC = DE\).


3. Sean \(A-B-C-D\) tales que \(O\) es punto medio de \(AD\) y \(BC\). Demostrar que \(AB=CD\) y que \(AC=BD\).


4. (Dificultad: 3/10Sean \(A-B-C-D\). Si \(M\) y \(N\) son los puntos medios de \(\overline{AB}\) y \(\overline{CD}\), respectivamente, probar que:

$$ MN = \frac{AC + BD}{2} $$

Solución: Ejercicio resuelto 04 | Segmentos | Puntos medios de dos segmentos


5. (Dificultad: 2/10Sea D el punto medio del segmento \(AB\) y \(P\) un punto cualquiera sobre la recta que contiene al segmento \(AB\) tal que \(A-B-P\). Demostrar que:

$$DP = \frac{AP + BP}{2}$$

Solución: Ejercicio resuelto 5 | Segmentos | Punto medio


6. Sean \(A-B-C-D\) tales que:

$$ \frac{BC}{m}=\frac{CD}{n} $$

con \(m\) y \(n\) perteneciendo al conjunto de los números reales. Expresar \(AC\) en términos de \(AB,~AD,~m\) y \(n\).


7. (Dificultad: 4/10Sean \(A-B-C-D\). Si \(BC = CD/2\), demostrar que:

$$ AC = \frac{2AB + AD}{3} $$

Solución: Ejercicio resuelto 07 | Segmentos | Geometría Euclidiana


8. (Dificultad: 5/10Se tienen tres puntos consecutivos \(A-B-C\), colineales y en ese orden. Dado que,

$$ AC+AB = \frac{5}{4} BC $$

Hallar,

$$ \frac{AB}{BC} $$

Solución: Solución ejercicio 8 | Segmentos | Geometría Euclidiana


9. (Dificultad: 9/10) Sea C un punto del segmento \(\overline{AB}\) diferente de A y de B, tal que:

$$ \frac{AC}{CB} = \frac{AB}{AC} $$

Demostrar que:

$$ AC = \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right) AB ~~~~~~ AB = \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right) AC $$

Solución: Ejercicio resuelto 9 | Segmentos de recta | Euclidiana


10. (Dificultad: 7/10) Sean A-B-C tales que \(AC=6\) y \( AB^2+BC^2=30 \). Hallar el valor de:

$$ \frac{AB^2}{BC}+\frac{BC^2}{AB} $$

Solución: Ejercicio resuelto 10 | Segmentos | Sistema de ecuaciones


11. (Dificultad: 6/10) Sean A-B-C, de tal modo que \(AB \cdot BC = x (AC)^2 \). Hallar:

$$ \frac{AB}{BC}+\frac{BC}{AB} $$

en términos de \(x\).

Solución: Ejercicio resuelto 11 | Segmentos | Suma de fracciones


12. (Dificultad: 6/10En una recta se ubican los puntos consecutivos \(A, B, C, D\), tal que \(C\) es el punto medio del segmento \(\overline{AD}\). Además, \(BD-AB=18\). Hallar la medida del segmento \(\overline{BC}\).

Solución: Ejercicio resuelto 12 | Segmentos | Punto medio


13. (Dificultad: 4/10 Sean \(O-A-X-B\), tal que:

$$ AX = \frac{n}{m} AB $$

con \(n\) y \(m\) pertenecientes al conjunto de los números reales positivos. Demostrar que:

$$ OX = \frac{(m-n).OA + n.OB}{m} $$

Solución: Ejercicio resuelto 13 | Segmentos | Cuatro puntos


14. (Dificultad: 4/10Sobre una recta se toman los puntos consecutivos \(A-B-C-D\). Luego, se toman los puntos medios \(M\) de \(\overline{AB}\) y \(N\) de \(\overline{CD}\), tal que \(MN = x (AD+BC)\). Hallar la medida de \(x\).

Solución: Ejercicio resuelto 14 | Segmentos | Puntos medios


15. (Dificultad: 6/10Sobre una recta se toman los puntos \(A-B-C-D\), con \(CD=3AC\) y \(BD-3AB=28\). Hallar la medida de \(BC\).

Solución: Ejercicio resuelto 15 | Segmentos | Hallar la medida de un segmento


16. (Dificultad: 7/10Considere los puntos \(A-M-B-N\) que cumplen con la siguiente condición:

$$ \frac{AM}{BM}=\frac{AN}{BN} $$

Demostrar que:

$$ \frac{2}{AB}=\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN} $$

Solución: Ejercicio resuelto 16 | Segmentos | Suma de fracciones


17. (Dificultad: 6/10Considere los puntos \(A-M-B-N\) que cumplen con la siguiente condición:

$$ \frac{AM}{BM}=\frac{AN}{BN} $$

Si \(O\) es el punto medio de \(\overline{AB}\), demostrar que:

$$ (OA)^2=OM.ON $$

Solución: Ejercicio resuelto 17 | Segmentos | Punto medio y proporción


18. (Dificultad: 7/10Considere los puntos \(A-B-P-C\), de modo que \(P\) es punto medio de \(\overline{BC}\) y, además, \( (AB)^2+(AC)^2=46\). Hallar el valor de \( (AP)^2+(BP)^2 \).

Solución: Ejercicio resuelto 18 | Segmentos | Hallar el valor de


19. (Dificultad: 8/10Sean \(A,~B,~C\) puntos colineales en ese orden tales que \(AB-BC=k\), con \(k\) un número positivo. Si \(M\) y \(N\) son puntos medios de \(\overline{AB}\) y \(\overline{BC}\), respectivamente, y \(P\) es punto medio de \(\overline{MN}\). Demuestre que:

$$ PB=\frac{k}{4} $$

Solucion: Ejercicio resuelto 19 | Segmentos | Demostrar función de una constante