Ratio: 5 / 5

Inicio activadoInicio activadoInicio activadoInicio activadoInicio activado
 

En esta sección hallará ejercicios de Geometría Vectorial y Analítica. Las soluciones se irán adicionando progresivamente por escrito o mediante videos. Se podrán observar a través del vínculo que se encuentra al final de cada enunciado.

Soluciones en video

Los siguientes son soluciones de los ejercicios 13 y 14 de la sección de Geometría Vectorial:

 

Ejercicios de Geometría Vectorial

1. Considere los siguientes puntos del plano con coordenadas:

$$P_1(2,1),~Q_1(3,3),~P_2(4,-2),~Q_2(2,-3),~P_3(-3,-1),~Q_3(0,-2)$$

Considere también los vectores \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{P_1 Q_1}\), \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{P_2 Q_2}\) y \(\overrightarrow{w}=\overrightarrow{P_3 Q_3}\). Calcular:

a. El vector \(\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\).

b. La magnitud del vector \(\overrightarrow{w}\), \(\|w\|\).

c. Los ángulos entre los vectores \(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\) y entre los vectores \(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{w}\).

d. \(Proy_{\overrightarrow{v}} (\overrightarrow{u})\) y \(Proy_{\overrightarrow{w}} (\overrightarrow{u})\).

Respuestas:

a. (8,3).

b. \(\sqrt{10}\).

c. 143.1\(^\circ\), 81.2\(^\circ\).

d. \(\frac{4}{5}(2,1)\), \(\frac{1}{10}(3,-1)\).

 

2. Pruebe que los triángulos con vértices A(-3,2), B(1,0), C(4,6) y F(1,1,-1), G(-3,2,-2), H(2,2,-4) son triángulos rectángulos.

 

3. Halle todos los valores del escalar \(k\) para los cuales los dos vectores siguientes son ortogonales.

$$ \overrightarrow{u} = (1,-1,2) $$

$$ \overrightarrow{v} = (k^2,k,-3) $$

Resp: -2, 3.

 

4. Sean \(\overrightarrow{V}=(1,-1,0)\) y \(\overrightarrow{W}=(1,1,0)\). Encontrar las coordenadas de un vector \(\overrightarrow{U}\) de \(R^3\) que cumpla simultáneamente con \(\overrightarrow{U} \perp \overrightarrow{V}\), \(\| \overrightarrow{U} \| = 4\) y que el ángulo entre \(\overrightarrow{U}\) y \(\overrightarrow{W}\) sea igual a \(\pi/3\).

Solución: Solución de ejercicio 4 - Geometría Vectorial.

5. Se tienen dos vectores \(A=\langle 2,-1,2 \rangle\) y \(B=\langle 1,2,-3 \rangle\). Hallar los vectores \(\overrightarrow{C}\) y \(\overrightarrow{D}\) en \(\mathbb{R}^3\), tal que \(\overrightarrow{A}=\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}\), \(\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{D}=0\) y \(\overrightarrow{C}\) paralelo a \(\overrightarrow{B}\).

Solución: Geometría vectorial | Ejercicio 5 | Vectores perpendiculares y paralelos 

6. Compruebe que \( (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = \|\overrightarrow{u}\|^2 - \|\overrightarrow{v}\|^2 \) para vectores \(\overrightarrow{u}\) y \(\overrightarrow{v}\) cualquiera. Aquí el punto representa el producto punto o producto escalar.

 

7. Dados \(\overrightarrow{u}=5\hat{i}+12\hat{j}\) y \(\overrightarrow{v}=\hat{i}+k\hat{j}\), donde \(k\) es un escalar, encuentre \(k\) de tal manera que la medida en radianes del ángulo entre \(\overrightarrow{u}\) y \(\overrightarrow{v}\) sea \(\frac{\pi}{3}\). Respuesta:

$$ \frac{-240+\sqrt{85,683}}{407} $$

 

8. A partir del dibujo que se muestra a continuación, se puede demostrar que el área \(A\) de un triángulo se puede calcular así:

$$ A=\frac{\|\overrightarrow{u}\|~\|\overrightarrow{v}-Proy_{\overrightarrow{u}} (\overrightarrow{v})\|}{2} $$

 

9. Calcule el área del triángulo cuyos vértices son A(1,-1), B(2,2), C(4,0). Respuesta: 4.

 

10. Usando la expresión para calcular la proyección de un vector sobre otro, demuestre que la distancia de un punto \(P(x_1,y_1)\) a la recta \(Ax+By+C=0\) está dada por:

 

$$ d=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} $$

Solución: Ejercicio resuelto 10 | Geometría vectorial

 

11. Se tiene un triángulo \(\triangle ABC\) cuyos vértices son \(A(3,-3,1)\), \(B(0,1,3)\) y \(C(-1,3,2)\). Use métodos vectoriales para hallar el pie de la altura relativa al lado \(BC\) del \(\triangle ABC\).

 

12. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos: \(A(1,1,3)\), \(B(2,-1,5)\), \(C(-3,3,1)\) utilizando solo proyecciones vectoriales.

 

13. Sean los vectores \(\overrightarrow{a}=(-1,5,7)\) y \(\overrightarrow{e}=(1,-2,3)\), descomponga \(\overrightarrow{a}\) en la suma de dos vectores libres \(\overrightarrow{x}\) y \(\overrightarrow{y}\), tales que \(\overrightarrow{x}\) sea paralelo a \(\overrightarrow{e}\) y \(\overrightarrow{y}\) sea ortogonal a \(\overrightarrow{e}\). Hallar los vectores \(\overrightarrow{x}\) y \(\overrightarrow{y}\). Solución de ejercicio 13 | Geometría Vectorial

 

14. Se tiene el triángulo \(\triangle ABC\) con vértices \(A(4,2,0)\), \(B(3,4,-3)\) y \(C(7,0,1)\). Empleando procedimientos vectoriales: 

a) Demostrar que el triángulo es isósceles.

b) Demostrar que la mediana relativa a la base es también perpendicular a ella.

c) Hallar el área del triángulo.

Solución: Solución de ejercicio 14 | Geometría Vectorial

 

15. Sean \(\overrightarrow{V}=(3,1,0)\) y \(\overrightarrow{W}=(2,2,0)\). Encontrar las coordenadas de un vector \(\overrightarrow{U}\) de \(R^3\) que cumpla simultáneamente las dos condiciones siguientes.

a) \(\overrightarrow{U} \perp \overrightarrow{W}\).

b) \(Proy_{\overrightarrow{V}}\overrightarrow{U} =-2 \overrightarrow{V}\).

Solución: Ejercicio resuelto 15 | Geometría vectorial

 

16. Sean \(\overrightarrow{U}\), \(\overrightarrow{V}\) y \(\overrightarrow{W}\) vectores en \(R^2\) tales que \(\|\overrightarrow{U}\|=3\), \(\|\overrightarrow{V}\|=4\) y \(\|\overrightarrow{W}\|=2\). Si el ángulo entre \(\overrightarrow{U}\) y  \(\overrightarrow{V}\) es de \(60°\), el ángulo entre  \(\overrightarrow{V}\) y  \(\overrightarrow{W}\) es de \(120°\), y si  \(\overrightarrow{Z}=2 \overrightarrow{U} - \overrightarrow{V}+3\overrightarrow{W}\), calcular \(\overrightarrow{Z} \cdot \overrightarrow{V}\).

Solución: Ejercicio resuelto 16 | Geometría vectorial

 

17. Calcular las coordenadas del baricentro del triángulo con vértices \(A(3,1)\), \(B(6,7)\) y \(C(-2,8)\).

Solución: Ejercicio resuelto 17 | Geometría vectorial

 

18. Hallar un vector \(\overrightarrow{A}\) en la misma dirección del vector \(\overrightarrow{B}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\) que determine con el vector \(\overrightarrow{w}=-2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) un paralelogramo de área 25 unidades cuadradas.

Solución: Ejercicio resuelto 18 | Area de un paralelogramo en R3

 

Ejercicios de Geometría Analítica - Rectas y Planos

 

1. Determine las ecuaciones simétricas y paramétricas de las siguientes rectas:

Nota: si en cada una de las ecuaciones paramétricas de la recta, \(x=x_0+\alpha a\), \(y=y_0+\alpha b\), \(z=z_0+\alpha c\) despejamos el parámetro y luego igualamos, se obtienen las llamadas ecuaciones simétricas de la recta:

$$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$$

a. Pasa por los puntos \(P_1(3,5,7)\), \(P_2(6,5,4)\).

b. Pasa por el punto \(P(2,-3,4)\) y es perpendicular al plano con ecuación \(2x-y+3z=4\).

c. Pasa por el origen y es perpendicular a la línea \(\frac{x-10}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}\) en su intersección.

Respuesta:

a) \(x=3t+3\), \(y=5\), \(z=-3t+7\).

b) \(x=2t+2\), \(y=-t-3\), \(z=3t+4\).

c) \(x=13t\), \(y=-12t\), \(z=-8t\).

 

2. Determinar si los siguientes pares de rectas \(L_1\), \(L_2\) son paralelas, se cruzan o se interceptan. En este último caso, hallar el punto de intersección.

a. Primer par de rectas:

$$ L_1: x-2 = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{3} $$

$$ L_2: \frac{x-5}{3} = \frac{y-1}{2} = z-4 $$

b. Segundo par de rectas:

$$ L_1: \frac{x-6}{2} = \frac{y-5}{2} = \frac{z-7}{3} $$

$$ L_2: \frac{x-7}{3} = \frac{y-5}{3} = \frac{z-10}{5} $$

c. Tercer par de rectas:

$$ L_1: \frac{x-7}{6} = \frac{y+5}{4} = \frac{z-9}{8} $$

$$ L_2: \frac{x-11}{9} = \frac{y-7}{6} = \frac{z-13}{12} $$

 

3. Calcular el valor de \(b\) para que las rectas \(r\) y \(s\) se corten. Hallar dicho punto de corte.

$$ r: \frac{x-1}{2}=\frac{y+5}{-3}=\frac{z+1}{2}~~~s: \frac{x}{4}=y-b=\frac{z-1}{2} $$

Solución: Solución ejercicio 03 | Geometría analítica

 

4. Demuestre que la recta que pasa por los puntos (2,-1,-5) y (8,8,7) es paralela a la recta que pasa por los puntos (4,2,-6) y (8,8,2).

 

5. Demuestre que la recta que pasa por los puntos (0,1,1) y (1,-1,6) es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-4,2,1) y (-1,6,2).

 

6. Si dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes \(m_1 . m_2 = -1\). Determinar la ecuación de la recta que pasa por \(A(3,5)\) y es perpendicular a la recta \(3x-2y-1=0\).

 

7. En cada caso, encuentre la ecuación de:

a. El plano que pasa por el punto (1,-1,1) y tiene vector normal \(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\).

b. El plano que pasa por el punto (6,3,2) y es perpendicular al vector \(-2\hat{i}+\hat{j}+5\hat{k}\).

c. El plano que pasa por el punto (-2,8,10) y es perpendicular a la recta con ecuaciones paramétricas \(x=1+t\), \(y=2t\), \(z=4-3t\).

d. El plano que pasa por el punto (4,-2,3) y es paralelo al plano \(3x-7z=12\).

e. El plano que contiene a la recta con ecuaciones paramétricas \(x=3+2t\), \(y=t\), \(z=8-t\) y es paralelo al plano \(2x+4y+8z=17\).

f. El plano que pasa por los puntos (3,-1,2), (8,2,4), (-1,-2,-3). Resolver este problema por dos métodos diferentes.

g. El plano que pasa por el punto (-1,2,1) y contiene la recta de intersección de los planos \(x+y-z=2\) y \(2x-y+3z=1\).

Solución: Ejercicio resuelto 7g | Ecuación de un plano que contiene punto y recta de intersección

Respuestas:

a) \(x+y-z=-1\).

b) \(-2x+y+5z=1\).

c) \(x+2y-3z=-14\).

d) \(3x-7z=-9\).

e) \(2x+4y+8z=70\).

f) \(-13x+17y+7z=-42\).

g) \(x-2y+4z=-1\).

 

8. Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos. Si dos planos no son paralelos, entonces se cortan en una recta y el ángulo entre los dos planos se define como el ángulo agudo entre sus vectores normales. Verifique que las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección de los planos \(z=x+y\) y \(2x-5y-z=1\) son,

$$x=6t,~y=-\frac{1}{6}+t,~z=-\frac{1}{6}+7t$$

y que el ángulo entre ellos es \(77.82°\).

Solución: Ejercicio resuelto 8 | Geometría analítica

 

9. Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por el punto (0,1,2), es paralela al plano \(x+y+z=2\) y perpendicular a la recta \(x=1+t\), \(y=1-t\), \(z=2t\). Respuesta: \(x=3t\), \(y=1-t\), \(z=2-2t\).

 

10. Halle la distancia del punto (2,8,5) al plano \(x-2y-2z=1\). Respuesta: 25/3.

Solución: Ejercicio resuelto 10 | Geometría analítica

 

11. Sean \(\overrightarrow{u}\) y \(\overrightarrow{v}\) vectores de \(R^3\) y \(\theta\) el ángulo entre \(\overrightarrow{u}\) y \(\overrightarrow{v}\). Demuestre que el área del triángulo determinado por ambos vectores es:

$$ \frac{\| u \times v \|}{2} $$

 

12. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos \(A(4,-1,3)\) y \(B(-1,3,4)\).

 

13. Hallar la ecuación del plano que contiene los puntos \(P(1,-3,2)\), \(Q(2,3,-1)\) y \(R(-1,2,1)\).

 

14. Determine el plano que contiene las rectas:

$$ L_1: \frac{x-3}{2}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z-5}{4}~~~\text{y}~~~L_2: \frac{x-1}{-2}=\frac{y-7}{4}=\frac{z-1}{-3} $$

 

15. Considere el triángulo que se presenta en la siguiente figura, cuyos vértices se encuentran en los puntos de coordenadas \(P(-1,-3)\), \(Q(2,1)\), \(R(-5,3)\).

a. Calcule el ángulo \(\theta\).

b. Encuentre el área del triángulo de tres formas distintas, a saber:

  • Utilizando el ángulo \(\theta\).
  • Usando las coordenadas de \(S\) y pie de la altura \(h\).
  • Mediante el producto cruz.

 

16. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la recta,

$$ \frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1} $$

con el plano \(\pi: x-2y+5z+1=0\), y es paralelo a las rectas,

$$ s: \frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=z+1~~~y~~~w: x=y-2=\frac{z+4}{-2} $$

Solución: Geometría analítica | Solución ejercicio 16 | Rectas y planos

 

17. Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que es paralela a los planos \(\pi_1: x-3y+z=0\) y \(\pi_2: 2x-y+3z-5=0\) y pasa por el punto \( (2,-1,5) \).

Solución: Solución de ejercicio 17 | Geometría Analítica

 

18. Determinar el valor de la variable \(b\) para que las siguientes rectas en el espacio se intersequen. Hallar el punto de intersección:

$$ \overleftrightarrow{L_1}:~\frac{x-1}{2}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z+2}{3}~~~~~~\overleftrightarrow{L_2}:~x+7=\frac{y-b}{2}=\frac{z-1}{-6} $$

Solución: Ejercicio resuelto 18 | Geometría analítica

 

19. Hallar la distancia entre las siguientes rectas:

$$ \overleftrightarrow{L_1}:~\frac{x-2}{3}=y+1=\frac{z}{2} $$

$$ \overleftrightarrow{L_2}:~x = \frac{y-1}{2} = \frac{z+3}{4} $$

Solución: Ejercicio resuelto 19 | Distancia entre dos rectas en R3