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El uso de elementos tri-dimensionales para modelar problemas con geometrías delgadas presenta algunas dificultades. En primer lugar, tener tres grados de libertad en cada nodo conlleva a grandes coeficientes de rigidez para aquellos desplazamientos relativos a lo largo de un borde correspondiente al espesor, lo que presenta problemas numéricos por mal condicionamiento de las ecuaciones. En segundo lugar, el uso de varios nodos a través del espesor resulta en un gran aumento en el uso de memoria y tiempos de cómputo. Estas son las razones principales para el desarrollo de elementos de placa y de cáscara para modelar geometrías delgadas.

Antes de tratar los elementos de cáscara se hará una corta referencia a algunas hipótesis fundamentales en la teoría de placas y cáscaras. La primera y más importante de ellas es:

Hipótesis 1

Las partículas del material que están originalmente en una línea recta perpendicular a la superficie media de la cáscara permanecen en una línea recta durante las deformaciones.

Dos teorías que se desprenden de la hipótesis anterior son:

1. Teoría de placas delgaas de Kirchhoff (1850)

Las deformaciones por corte se desprecian, y la línea recta permanece perpendicular a la superficie media durante las deformaciones.

2. Teoría de placas gruesas de Mindlin & Reissner (1945 y 1951)

las deformaciones por corte se incluyen, y la línea que originalmente se hallaba normal a la superficie media no permanece perpendicular a dicha superficie durante las deformaciones.

La segunda hipótesis, la cual está limitada a pequeñas deformaciones, es:

Hipótesis 2

El espesor de la cáscara permanece constante durante las deformaciones, luego, la componente normal a la superficie media se asume \(\epsilon_{nn}=0\).

A continuación, se menciona la última hipótesis, cuya aplicación a la relación constitutiva 3D permitirá obtener la relación constitutiva para el elemento de cáscara.

Hipótesis 3

Las tensiones en la dirección normal a la superficie media de la cáscara se asumen nulas, de donde \(\sigma_{nn}=0\).

Para enfrentar un problema que requiera análisis de geometrías curvas se han tenido las siguientes posibilidades: 1. Desarrollar elementos curvos basados en teoría clásica de cáscaras (las formulaciones son complejas), 2. Usar elementos sólidos 3D de espesor pequeño o 3. Desarrollar elementos de cáscara curvos degenerando elementos sólidos.