La base media de un trapecio es paralela a las bases y es congruente con la semisuma de las bases mayor y menor, es decir:

$$\text{Base media}=\frac{\text{Base mayor}+\text{Base menor}}{2}$$

Hipótesis:
ABCD trapecio cualquiera.
\(\overline{AB} \parallel \overline{DC}\)
\(\overline{AD} \sim \parallel \overline{BC}\)

Tesis:
\(\overline{MN} \parallel \overline{DC} \parallel \overline{AB}\)
\(MN=(AB+DC)/2\)

Proposición - Razón

1. \(AB \parallel DC\). Por definición de trapecio y por Hipótesis.

\(AD \sim \parallel BC\)

2. Trazo \(\overline{DB}\), \(\overline{MP}\), \(\overline{PN}\) con M, P y N puntos medios de \(\overline{DA}\), \(\overline{DB}\) y \(\overline{CB}\). Por construcci\ón (no sabemos si \(\overline{MP}\) y \(\overline{PN}\) pertenecen a la misma recta.

3. \(\overline{MP}\) base media de \(\triangle DAB\), \(\overline{PN}\) base media de \(\triangle BCD\). Por 1. M y P son puntos medios de \(\overline{DA}\) y \(\overline{DB}\). N Punto medio de \(\overline{CB}\).

4. \(\overline{MP} \parallel \overline{AB}\) Por 3 y teorema de base media ( \(\triangle DAB\) ).

\(MP=(1/2) AB\)

5. \(\overline{PN} \parallel \overline{DC}\) Por 3 y teorema de base media ( \(\triangle BCD\) ).

\(PN=(1/2) DC\)

6. \(\overline{DC} \parallel \overline{AB}\) Por definición de trapecio. Por hipótesis.

7. \(\overline{MP} \parallel \overline{DC}\) Por transitividad entre 4a y 6.

8. P es punto común a \(\overline{MP}\) y \(\overline{PN}\) Por 2. Por construcción.

9. \(\overline{MP}\) y \(\overline{PN}\) pertenecen a la misma recta. Por postulado de Euclides: por un punto exterior a una recta solamente pasa una recta paralela a dicha recta.

10. \(MN=MP+PN\) Por suma de segmentos, de 9.

11. \(MN=(1/2)AB+(1/2)DC\) Por sustitución de 4b y 5b en 10.

12. \(MN=(AB+DC)/2\) Por propiedad de los reales.