GEOMETRÍA EUCLIDIANA

EJERCICIOS DE PROPORCIONES EN TRIÁNGULOS - PROPORCIONALIDAD

1. En un trapecio ABCD se trazan por los extremos de la base menor CD las paralelas CF y DE a los lados no paralelos (F y E sobre la base mayor); dichas paralelas encuentran a las diagonales BD y AC en los puntos M y N. Por F y E se trazan las paralelas a las diagonales AC y BD que encuentran a BC y AD en P y Q. Demostrar que los puntos M, N, P, Q están sobre una paralela a la base AB.

2. En un cuadrilátero ABCD se traza por B BF paralela a CD (F sobre la diagonal AC) y por C CG paralela a AB (G sobre la diagonal BD). Demostrar que FG es paralela a AD.

Solución: Ejercicio resuelto de proporciones 1

3. Sobre el lado AB de un triángulo ABC se toman dos puntos D y E y por ellos se trazan dos rectas paralelas que cortan el lado AC en F y G respectivamente; se trazan FE y por el punto G una paralela a FE que corta a AB en H. Demostrar que AE²=AD.AH.

4. En un triángulo ABC se toman los puntos P y Q sobre CA y CB respectivamente tales que AP/PC = BQ/QC. Luego se traza por A una paralela a PB que encuentra la prolongación de CB en R. Demostrar que CB es media proporcional entre CQ y CR.

5. Sean BB' Y CC' las alturas de un triángulo ABC. Se trazan \(\overline{C'H} \perp \overline{AC}\) y \(\overline{B'G} \perp \overline{AB}\). Demostrar que \(\overline{GH} \parallel \overline{BC}\).

6. ABCD es un cuadrilátero cualquiera cuyas diagonales se cortan en O. Por O se traza \(\overline{OM} \parallel \overline{BC}\), cortando a \(\overline{AB}\) en M. Sea N un punto en \(\overline{AD}\) tal que \(\overline{MN} \parallel \overline{BD}\). Demostrar que \(\overline{ON} \parallel \overline{CD}\).

Solución: Geometría Euclidiana | Proporcionalidad | Ejercicio resuelto | Ej. 6

EJERCICIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

1. Demostrar que las medidas de alturas homólogas, las medidas de las medianas homólogas y las medidas de las bisectrices homólogas de dos triángulos semejantes son proporcionales a los lados homólogos y proporcionales a los perímetros de los triángulos.

2. La perpendicular trazada desde un punto de la circunferencia a un diámetro, es media proporcional entre los segmentos determinados sobre el diámetro.

3. De un punto exterior P, se traza una tangente PD a un círculo de centro O. Se une el punto de contacto D a los extremos del diámetro perpendicular a PO. DA y DB encuentran a PO (o su prolongación) en los puntos M y N. Demostrar que PM=PN=PD.

4. Demostrar que las rectas que unen los pies de las alturas de un triángulo cualquiera determinan tres triángulos semejantes al triángulo primitivo.

5. Se tiene un triángulo ABC isósceles (AB=AC) inscrito en una circunferencia con centro en O. De un punto D cualquiera sobre BC se traza una cuerda AE. Demostrar que AB²=AD.AE.

6. En un triángulo ABC cuyos lados miden AB=a, BC=(2a)/3, AC=(3a)/2, se trazan las medianas BM y CN que se cortan en G. Se traza la recta MN y por G la paralela DF a BC. Hallar, en términos de a, el perímetro del trapecio DFMN.

7. Desde el punto medio D de la base AB de un triángulo isósceles como centro, se describe un semicírculo tangente a los lados iguales CA y CB. Una tangente MN a dicho semicírculo encuentra los lados iguales en M y N. Demostrar que AD²=AM.BN.

8. En un triángulo rectángulo ABC de hipotenusa a y altura h, se inscribe un cuadrado que tiene un lado sobre la hipotenusa. Calcular el lado del cuadrado en función de a y h.

Solución: Ejercicio 8 | Geometría Euclidiana | Semejanza | Teorema de razón entre líneas notables

9. Sobre la diagonal \(\overline{AC}\) de un paralelogramo \(ABCD\) se toma un punto \(M\); se trazan \(\overline{ME}\) y \(\overline{MF}\) perpendiculares a \(\overline{AB}\) y \(\overline{AD}\) respectivamente. Demostrar que:

$$ \frac{ME}{MF}=\frac{AD}{AB} $$

Solución: Solución ejercicio 9 | Semejanza | Geometría Euclidiana

10. Las diagonales AC y BD de un trapecio ABCD se cortan en O. Demostrar que OC/OD=OA/OB.

11. Se tiene el triángulo ABC. Sean A-B-D, tales que AB=BD. Sean A-E-C tales que (AE/EC)=(3/2). Los segmentos DE y BC se cortan en F. Hallar BF/BC.

Solución: Ejercicio 11 | Geometría Euclidiana | Semejanza | Recíproco del teorema de la base media

12. De un punto E cualquiera de la base AB de un triángulo isósceles ABC, se trazan ED perpendicular a AC y EF perpendicular a CB. Demostrar que AD.EF=ED*BF.

13. Se da un triángulo isósceles ABC de base BC y el círculo tangente a los lados iguales en los puntos B y C. Desde un punto M del arco de dicho círculo interior al triángulo, se trazan las perpendiculares MD a la base del triángulo y MF y ME a los lados iguales. Demostrar que MD²=ME.MF.

14. Se tiene un triángulo ABC cualquiera. El ángulo en A es igual al ángulo CBD. Demostrar que \(BD^2=AD.CD\).

Solución: Ejercicio resuelto: ejemplo de criterio de semejanza SAA

EJERCICIOS DE RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS - APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

1. (Dificultad: 4/10) En un triángulo ABC isósceles de base BC, se traza CD perpendicular a AB. Demostrar que AB²+AC²+BC²=BD²+2AD²+3CD².

Solución  [Sólo suscriptores] : Ejercicio resuelto 1 | Relaciones métricas en triángulos

2. Desde el punto medio D del cateto AB de un triángulo rectángulo en A se traza DE perpendicular sobre la hipotenusa. Demostrar que EC²-EB²=AC².

3. Si las diagonales de un cuadrilátero se cortan en ángulo recto, la suma de los cuadrados de dos lados opuestos es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos.

4. Las diagonales AC y BD de un trapecio isósceles son perpendiculares a los lados no paralelos BC y AD. Si la base menor tiene por medida b y la base mayor es el doble de la base menor, hallar las medidas de los lados iguales y de las diagonales.

5. Demostrar que la suma de los cuadrados de los lados de un cuadrilátero cualquiera, es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales, más cuatro veces el cuadrado del segmento que une los puntos medios de las diagonales.

6. Aplicar el resultado anterior para demostrar que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales.

7. En un trapecio ABCD la base mayor AB=3a, la base menor y el lado AD miden a. Si <A=60°, calcular BC y la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases.

8. En un triángulo rectángulo ABC se traza AH altura relativa a la hipotenusa. Si AB = c, AC = b, BC=a, BH=m, HC=n, AH=h y m-n=h, hallar a, b, c en función de h.

9. Se tiene el cuadrado ABCD de lado \(a\). Se dibujan los puntos E y F tal que A-E-D y D-F-C, con \(m(A\hat{B}E)=30\)° y \(\overline{BE} \perp \overline{AF}\) en H. Hallar las medidas AH, AE, BH, EH y DF en función de \(a\).

Solución [en video]: Geometría Euclidiana | Relaciones Métricas | Ej. 9