En un cuadrilátero ABCD se traza por B, BF paralela a CD (F sobre la diagonal AC) y por C, CG paralela a AB (G sobre la diagonal BD). Demostrar que FG es paralela a AD.

Hipótesis:
ABCD cuadrilátero cualquiera.
\(\overline{BF} \parallel \overline{CD}\)
\(\overline{CG} \parallel \overline{AB}\)
\(F \in \overline{AC}\).
\(G \in \overline{BD}\).

Tesis:
\(\overline{FG} \parallel \overline{AD}\).

Ejercicio geometría proporciones

Proposición - Razón

1. \(\frac{DI}{IB}=\frac{CI}{IF}\) Por Teorema fundamental de proporcionalidad.

$\(\frac{CI}{IA}=\frac{GI}{IB}\)

2. \(DI.IF=CI.IB\) Por propiedad de proporciones.

\(GI.IA=CI.IB\)

3. \(DI.IF=GI.IA\) Por transitividad entre 2a y 2b.

4. \(\frac{GI}{DI}=\frac{IF}{IA}\) Por propiedad de proporciones.

5. \(DI=GI+GD\) Por suma de segmentos.

\(IA=IF+FA\)

6. \(\frac{GI}{GI+GD}=\frac{IF}{IF+FA}\) Por sustitución de 5a y 5b en 4.

7. \(\frac{GI+GD}{GI}=\frac{IF}{IF+FA}\) Por propiedad de proporciones.

8. \(\frac{GI}{GI}+\frac{GD}{GI}=\frac{IF}{IF}+\frac{FA}{IF}\) Por propiedad de los reales.

9. \(1+\frac{GD}{GI}=1+\frac{FA}{IF}\) Por propiedad de los reales (cancelativa), de 8.

10. \(\frac{GD}{GI}=\frac{FA}{IF}\) Por propiedad de los reales.

11. \(\overline{FG} \parallel \overline{AD}\) Por sexto criterio de paralelismo.

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