1. Determinar sobre un segmento rectilíneo $\overline{AB}$ un punto $C$, entre $A$ y $B$, tal que $AC=3CB$.

2. Hallar el valor mayor del lado mayor de un triángulo sabiendo que es un número entero, si los otros dos lados miden 14 cm y 23 cm.

3. Con los datos del ejercicio anterior, hallar el menor valor del lado menor.

4. La medida de la base de un triángulo isósceles es 1/3 de la medida de cada uno de los lados congruentes. Si el perímetro del triángulo isósceles en cuestión es igual al de un triángulo equilátero de lado a, calcular la longitud de los lados del triángulo isósceles.

5. Se da un triángulo isósceles $\triangle BAC$ de base $\overline{BC}$. Se traza la secante $\overline{BD}$ ($D$ sobre $\overline{AC}$). Demostrar que $DC<BD$.

6. Demostrar que si un triángulo tiene dos lados iguales, tiene dos alturas iguales y viceversa.

7. Las medianas de un triángulo isósceles $\triangle ABC$, trazadas desde los vértices de la base $\overline{BC}$ se cortan en $G$.

• Demostrar que son iguales.
• Demostrar que el triángulo $\triangle GBC$ es isósceles.

8. Resolver el problema anterior con las bisectrices de los ángulos de la base.

9. Demostrar que la suma de las distancias de un punto $P$ cualquiera dentro de un triángulo a sus vértices es mayor que el semiperímetro y menor que el perímetro del triángulo.

10. $P$ es un punto interior del triángulo $\triangle ABC$ tal que $\overline{AP}$ corta $\overline{BC}$ en $M$ y $\overline{CP}$ corta $\overline{AB}$ en $N$. Si $PM=PN$ y $PA=PC$, demostrar que el triángulo $\triangle ABC$ es isósceles.

11. Demostrar que los extremos de un lado de un triángulo cualquiera equidistan de la mediana relativa a dicho lado.

12. Dificultad (6/10) Sobre los lados iguales $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ de un triángulo isósceles $\triangle ABC$ se toman longitudes iguales $AE=AF$. Luego, se unen los puntos $E$ y $F$ con el pie $H$ de la altura. Demostrar que el ángulo $E\hat{H}A=A\hat{H}F$ y $E\hat{F}H=F\hat{E}H$.

Solución: Ejercicio resuelto de congruencia de triángulos 3: criterio LAL

13. Se da un triángulo $\triangle ABC$ rectángulo en $A$ y la bisectriz interior $\overline CD$ del ángulo en $C$. Demostrar que $BD>DA$.

14. Sobre los lados de un ángulo $A$ se toman dos longitudes iguales $AB=AD$, después se toma $AC=AE$. Demostrar que las rectas $\overline{BE}$ y $\overline{CD}$ se cortan sobre la bisectriz de ángulo $A$.

15. (Dificultad: 7/10)  EN VIDEO  En el triángulo ABC rectángulo en A, la bisectriz $BE$ del ángulo en $B$ corta a $\overline{AC}$ en $E$. Si el ángulo $C$ es la mitad del ángulo $B$, demostrar que $CB = 2AB$.

Solución: Congruencia de triángulos | Ej. 15 | Demostrar que BC=2AB

16. Demostrar que todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo y recíprocamente (si un punto equidista de los lados de un ángulo, pertenece a la bisectriz del ángulo). Así se demuestra que la bisectriz de un ángulo es un lugar geométrico.

17. (Dificultad: 8/10)  EN VIDEO  Se cortan los lados de un ángulo $X\hat{O}Y$ con una secante $\overline{AB}$ ($A$ sobre $\overline{OX}$ y $B$ sobre $\overline{OY}$). Luego se trazan las bisectrices de $X\hat{A}B$ y de $Y\hat{B}A$ que se encuentran en $R$. Demostrar que $\overline{OR}$ es bisectriz del ángulo $X\hat{O}Y$.

Solución: Congruencia de triángulos | Ej. 17 | Bisectriz como lugar geométrico

18. Demostrar que la longitud de la mediana de triángulo está comprendida entre la semisuma y la semidiferencia de los lados que parten del mismo vértice.

19. Dos triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle A’B’C’$ son tales que $B=B’$, $BC=B’C’$ y las bisectrices $\overline{BE}$ y $\overline{B’E’}$ son iguales. Demostrar que los triángulos son congruentes.

20. Demostrar que en todo triángulo la suma de las tres medianas está comprendida entre el perímetro y el semi-perímetro de dicho triángulo.

21. Dificultad (6/10) Sobre los lados o las prolongaciones de los lados $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{AC}$ de un triángulo equilátero $\triangle ABC$, se toman los puntos $A’$, $B’$, $C’$ respectivamente y en el mismo sentido de tal manera que $AA’=BB’=CC’$. Demostrar que el triángulo $\triangle A’B’C’$ es equilátero.

Solución: Ejercicio resuelto 21 | Triángulos | Geometría euclidiana

22. Demostrar que en un triángulo cualquiera una altura es menor que la semisuma de los lados adyacentes. Demostrar que en un triángulo cualquiera la suma de las tres alturas es menor que el perímetro del triángulo.

23. En un triángulo $\triangle ABC$ se tienen: $A-F-C$ y $A-D-B$, $FC = DB$, $AD > AC$. Demostrar que $FB > CD$.

24. En un triángulo $\triangle ABC$ con $AB<AC$, se traza la bisectriz $\overline{AE}$, se prolonga $\overline{AB}$ hasta $D$ tal que $AD = AC$ y se traza $\overline{DE}$. Probar que $BE<EC$ (Ayuda: demostrar primero una congruencia de triángulos).

25. Dificultad (8/10) En un triángulo $\triangle ABC$ isósceles de base $\overline{BC}$ se toman $D$ y $E$ tales que $AD = AE$, con $A-D-B$ y $A-E-C$. Se trazan $\overline{BE}$ y $\overline{CD}$ que se cortan en $R$. Pruebe que $\overline{AR}$ pasa por el punto medio $N$ de $\overline{DE}$.

Solución: Ejercicio resuelto de congruencia de triángulos 1

26. Demostrar que entre dos segmentos oblicuos aquel que tenga su pie más cercano del pie de la perpendicular, es menor.

27. Dificultad (4/10) En el triángulo isósceles $\triangle PQR$, la bisectriz de un ángulo en la base, ángulo $Q$, interseca al lado opuesto en $S$. $T$ es un punto de la base $\overline{PQ}$ tal que $ST = PT$. $\overline{SV}$ es bisectriz del ángulo $P\hat{S}T$. Demostrar que $T\hat{S}V = R\hat{Q}S$.

Solución: Ejercicio resuelto 27 | Congruencia de triángulos | Euclidiana

28. Dificultad (4/10) Sea el triángulo isósceles $\triangle ABC$ de base $\overline{BC}$. Se prolonga $\overline{BA}$ hasta un punto $E$ tal que $B-A-E$, y se prolonga $\overline{CA}$ hasta $F$ tal que $C-A-F$, de modo que $AE = AF$. Se traza $\overline{AH}$ perpendicular a $\overline{BC}$. Demostrar que el ángulo $A\hat{H}F$ es congruente con el ángulo $A\hat{H}E$.

Solucion: Ejercicio resuelto 28 | Triángulos | Geometría euclidiana

29. Dificultad (7/10)Se tiene un triángulo $\triangle ABC$ equilátero. Se trazan la altura $\overline{CH}$, luego $\overline{HD} \perp \overline{CB}$ y $\overline{HE} \perp \overline{AC}$, con $C-D-B$ y $C-E-A$. Demostrar que $CH=HD+HE$.

Solución: Ejercicio resuelto de triángulos: teorema 30-60-90