Rectas paralelas

Se dice que dos rectas \(\overleftrightarrow{L_1}\) y \(\overleftrightarrow{L_2}\) son paralelas si son coplanares y no tienen ningún punto en común. Se denota por \(\overleftrightarrow{L_1} \parallel \overleftrightarrow{L_2}\) o \(\overleftrightarrow{L_2} \parallel \overleftrightarrow{L_1}\). Dos segmentos (semirrectas) son paralelos si pertenecen a rectas paralelas.

1er criterio de paralelismo

Teorema: si en un mismo plano, dos rectas son perpendiculares a una tercera entonces ellas son paralelas. Nota: Si las tres rectas no son coplanares, las perpendiculares a una tercera en lugar de ser paralelas son secantes o cruzadas.

Existencia de una paralela

Teorema: Por un punto exterior a una recta, pasa por lo menos una paralela a dicha recta.

Postulado de Euclides

Axioma: Por un punto exterior a una recta solamente pasa una paralela a dicha recta.

Este postulado garantiza la unicidad de la paralela a una recta por un punto exterior a ella, es decir, si por un punto A exterior a una recta L, pasan las rectas \(\overleftrightarrow{L1}\) y \(\overleftrightarrow{L2}\), con \(\overleftrightarrow{L1} \parallel \overleftrightarrow{L}\) y \(\overleftrightarrow{L2} \parallel \overleftrightarrow{L}\), entonces \(\overleftrightarrow{L_1}\) y \(\overleftrightarrow{L_2}\) deben coincidir.

Teorema: En un plano, si dos rectas son paralelas entonces toda secante a una de ellas también es secante a la otra.

Criterio de perpendicularidad

Teorema: en un plano, si dos rectas son paralelas entonces toda perpendicular a una de ellas es perpendicular a la otra.

Teorema: en un plano, dos rectas respectivamente perpendiculares a dos rectas secantes, son secantes.

2o Criterio de paralelismo (Transitividad)

Teorema: Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas, es decir, la relación de paralelismo es transitiva.

Ángulos formados por dos rectas y una transversal a ellas

Transversal: Es una recta secante a dos rectas coplanares, pero en puntos distintos.

Si T es una transversal a \(\overrightarrow{L_1}\) y \(\overrightarrow{L_2}\) (secante a \(\overrightarrow{L_1}\) en A y a \(\overrightarrow{L_2}\) en B), entonces se forman cuatro ángulos internos y cuatro ángulos externos, que se clasifican en:

• Ángulos alternos internos: son dos ángulos internos de distinto vértice situados en distinto semiplano con respecto a la transversal.
• Ángulos alternos externos: son dos ángulos externos de distinto vértice situados en distinto semiplano con respecto a la transversal.
• Ángulos correspondientes: son dos ángulos de distinto vértice, uno interno y otro externo y situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal.
• Ángulos colaterales internos: son dos ángulos internos de distinto vértice y situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal.
• Ángulos colaterales externos: son dos ángulos externos de distinto vértice y situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal.

Propiedades de los ángulos entre dos paralelas y una transversal

Teorema: Entre dos paralelas y una transversal se forman ángulos alternos internos congruentes.

Corolario: entre dos paralelas y una transversal se forman pares de ángulos:

1. Alternos internos congruentes.
2. Alternos externos congruentes.
3. Correspondientes congruentes.
4. Colaterales internos suplementarios.
5. Colaterales externos suplementarios.

3er Criterio de paralelismo

Teorema: si entre dos rectas y una transversal, se forma algún par de ángulos alternos internos congruentes entonces las dos rectas son paralelas.

• Corolario: si entre dos rectas y una transversal se forma algún par de ángulos alternos externos congruentes, o correspondientes congruentes, o colaterales internos (externos) suplementarios entonces las dos rectas son paralelas.

Teorema: dos ángulos agudos (obtusos) con sus lados respectivamente paralelos son congruentes.

• Corolario: dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, con sus lados respectivamente paralelos son suplementarios.

Teorema: En un plano, dos ángulos agudos (obtusos) con sus lados respectivamente perpendiculares son congruentes.

• Corolario: En un plano, dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, con sus lados respectivamente perpendiculares son suplementarios.

Distancia entre paralelas

Teorema: Dadas dos rectas paralelas entonces la distancia de cualquier punto, (de una de ellas), a la otra es una constante.

4o Criterio de paralelismo

Teorema: si dos puntos A y B, en el mismo semiplano con respecto a una recta L, equidistan de ella entonces la recta es paralela a L.

Suma de ángulos en un triángulo

Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo mide 180°.

• Corolarios:

1. En todo triángulo equilátero cada ángulo interior mide 60°.
2. En todo triángulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios.
3. En todo triángulo, cada ángulo exterior es congruente con la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.
4. En todo triángulo, la suma de sus ángulos exteriores mide 360°.

Base media en un triángulo

Base media: En un triángulo se llama base media al segmento que une los puntos medios de dos lados. Cada triángulo tiene tres bases medias.

5o Criterio de paralelismo

Teorema: la base media de un triángulo es paralela al tercer lado y mide la mitad de dicho lado.

Teorema: Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a un segundo lado, entonces se obtiene la base media con respecto a dicho lado.

Mediana relativa a la hipotenusa

Teorema: En todo triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa es congruente con la mitad de la hipotenusa.

Teorema: Si en un triángulo un lado es el doble de su respectiva mediana, entonces el triángulo es rectángulo.

Puntos notables en el triángulo

Baricentro

Teorema: Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto que se llama baricentro, el cual está, sobre cada mediana, a dos terceras partes de mediana desde el vértice o a una tercera parte de mediana desde su pie.

Circuncentro

Teorema: Las tres mediatrices de un triángulo concurren en un punto que se llama circuncentro, el cual equidista de los tres vértices y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Ortocentro

Lema: Si por cada vértice de un triángulo se traza la paralela al lado opuesto, entonces se forma un triángulo cuyos lados tienen por puntos medios los vértices del triángulo dado.

Teorema: Las tres alturas de un triángulo concurren en un punto que se llama ortocentro.

Incentro

Teorema: Las tres bisectrices interiores de un triángulo concurren en un punto que se llama incentro, el cual equidista de los lados del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.