1. (Dificultad: 3/10)  Se tiene un triángulo \(\triangle ABC\). Las bisectrices \(\overline{BO}\) y \(\overline{CO}\) de los ángulos de la base \(\overline{BC}\) se cortan en \(O\). Se traza por \(O\) la recta \(\overline{DOE}\) paralela a \(\overline{BC}\) (\(D\) sobre \(\overline{AB}\) y \(E\) sobre \(\overline{AC}\)). Demostrar que \(DE = DB + CE\).

Solución: Ejercicio resuelto 1 | Paralelismo | Euclidiana

2. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos: uno agudo y otro obtuso que tienen sus lados perpendiculares, son paralelas.

3. Por un punto P de una recta \(\overline{AB}\) se trazan dos segmentos iguales \(\overline{PM}\) y \(\overline{PN}\) de un mismo lado de \(\overline{AB}\) e igualmente inclinados sobre \(\overline{AB}\). Demostrar que \(\overline{MN}\) es paralela a \(\overline{AB}\).

4. Demostrar que en un triángulo rectángulo la bisectriz del ángulo recto es también bisectriz del ángulo formado por la mediana y la altura que parten del ángulo recto.

5. Se tiene un triángulo cualquiera \(\triangle ABC\). Sea \(H\) el ortocentro. Si \(CH=AB\), hallar el ángulo \(A\hat{C}B\).

6. Sobre el lado \(\overline{OX}\) del ángulo \(X\hat{O}Y\) se toma un punto \(A\). De \(A\) se traza \(\overline{AH}\) perpendicular a \(\overline{OY}\) y la bisectriz del ángulo \(H\hat{A}O\) que encuentra \(\overline{OY}\) en \(C\); de \(C\) se traza la perpendicular a \(\overline{OY}\) que encuentra a \(\overline{OX}\) en \(B\). Demostrar que \(\triangle ABC\) es isósceles.

7. Por el vértice \(A\) del triángulo \(\triangle ABC\) se trazan las semirrectas \(\overrightarrow{AD}\) y \(\overrightarrow{AE}\) tales que \(B\hat{A}D=\hat{C}\) y \(C\hat{A}E=\hat{B}\) situadas del mismo lado que el triángulo (\(D\) y \(E\) sobre \(\overline{BC}\) o su prolongación). Demostrar que el triángulo \(\triangle ADE\) es isósceles.

8. Demostrar que en un triángulo rectángulo, la mediana y la altura relativas a la hipotenusa forman entre sí un ángulo que tiene por medida la diferencia de las medidas de los ángulos agudos.

9. Sobre los lados \(\overrightarrow{OX}\) y \(\overrightarrow{OY}\) del ángulo \(X\hat{O}Y\) recto en \(O\) se toman los puntos \(A\) y \(B\) y se trazan las rectas \(\overleftrightarrow{AM}\) y \(\overleftrightarrow{BN}\) que forman con los lados del ángulo recto ángulos de \(30°\) (\(M\) sobre \(OY\), \(N\) sobre \(\overrightarrow{OX}\)) y se cortan en \(D\). Demostrar que los triángulos \(\triangle AND\) y \(\triangle BMD\) son isósceles.

10. Se da un triángulo \(\triangle BAC\), rectángulo en \(A\) y la bisectriz \(\overline{AD}\) (\(D\) sobre \(\overline{BC}\)). Luego, se traza \(\overline{DE}\) perpendicular a \(\overline{BC}\) (\(E\) sobre \(\overline{AC}\) o su prolongación). Demostrar que \(BD = DE\).

11. En un triángulo \(\triangle ABC\) rectángulo en \(A\), el ángulo \(B\) mide \(30°\). Se trazan la altura \(\overline{AH}\) y la mediana \(\overline{AM}\) y de \(B\) se traza \(\overline{BE}\) perpendicular a la prolongación de \(\overline{AM}\). Demostrar que \(BE = EH = AH\).

12. En un triángulo \(\triangle ABC\) se tiene \(BC = 2a\), \(AB =a\) y \(A\hat{B}C = 60°\). Demostrar que el triángulo \(\triangle ABC\) es rectángulo.

13. Encontrar los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si la bisectriz del ángulo recto tiene la misma medida del cateto menor. Encontrar la medida de los ángulos que forma la bisectriz con este lado.

14. En un triángulo \(\triangle BAC\) rectángulo en A el ángulo \(\hat{C}=58°\). Se trazan la altura \(\overline{AH}\), la bisectriz \(\overline{AD}\) y la mediana \(\overline{AM}\). Se forman en el vértice \(A\) cuatro ángulos adyacentes consecutivos \(a,~b,~c,~d\). Calcular en grados el valor de estos ángulos.

15. (Dificultad: 6/10) Se prolonga el cateto \(\overline{CA}\) de un triángulo \(\triangle ABC\) rectángulo en \(A\) una longitud \(AD=AC\). Se traza \(\overline{DH}\) perpendicular a \(\overline{CB}\), que corta \(\overline{AB}\) en \(G\). Demostrar que \(\overline{CG}\) es perpendicular a \(\overline{BD}\).

Solución: Ejercicio resuelto 15 | Paralelismo y perpendicularidad | Euclidiana

16. Se da un ángulo \(XOY\) y un punto \(A\) exterior. Se trazan \(\overline{AH}\) perpendicular a \(\overline{OX}\) y \(\overline{AK}\) perpendicular a \(\overline{OY}\). Demostrar que la recta que pasa por los puntos medios de \(\overline{OA}\) y \(\overline{HK}\) es perpendicular a \(\overline{HK}\).

17. Desde un punto \(D\) de la base \(\overline{AC}\) de un triángulo isósceles \(\triangle BAC\), se traza \(\overline{DH}\) perpendicular a \(\overline{BC}\). Demostrar que el ángulo \(A\hat{B}C\) es el doble del ángulo \(H\hat{D}C\).

18. En un triángulo \(\triangle ABC\) rectángulo en \(A\) (\(AB<AC\)), se traza la altura \(\overline{AH}\) y se toma sobre la hipotenusa \(HD=HB\); se traza \(\overline{CE}\) perpendicular a \(\overline{AD}\). Demostrar que \(\overline{BC}\) es bisectriz del ángulo \(A\hat{C}E\).

19. Las bisectrices interiores de los ángulos \(B\) y \(C\) de un triángulo acutángulo \(\triangle ABC\) forman un ángulo de \(128°\). Calcular el ángulo agudo que forman las alturas que parten de los vértices \(B\) y \(C\).

20. En un triángulo rectángulo la bisectriz del mayor de los ángulos agudos es igual al mayor de los segmentos que determina sobre el lado opuesto. Encontrar la medida de los ángulos que forma la bisectriz con este lado.

21. El ángulo en el vértice de un triángulo isósceles mide \(54°\). Hallar la medida del ángulo del vértice del triángulo que tiene por vértices los pies de las alturas del primer triángulo.

22. Sobre los lados de un triángulo cualquiera \(\triangle ABC\), y hacia el exterior, se construyen triángulos equiláteros \(\triangle MAB\), \(\triangle NBC\) y \(\triangle PAC\). Demostrar que \(MC = NA = PB\).

23. (Dificultad: 7/10) Desde un punto \(P\) sobre la base \(\overline{BC}\) de un triángulo isósceles \(\triangle ABC\) se traza una perpendicular \(\overline{PMN}\) a dicha base tal que \(B-A-N\) y \(C-M-A\). Se traza la altura \(\overline{AD}\). Demostrar que \(PM + PN = 2AD\).

Solución: Ejercicio resuelto 23 | Geometría Euclidiana | Paralelismo

24. Demostrar que la recta que une los pies de las alturas iguales de un triángulo isósceles, es paralela a la base.

25. En un triángulo rectángulo la altura y la mediana que parten del vértice del ángulo recto forman un ángulo de \(24°\). Hallar los ángulos agudos del triángulo.

26. Se tiene un triángulo \(\triangle ABC\) cualquiera y la mediana \(\overline{AD}\). La recta que une \(B\) con el punto medio \(E\) de \(\overline{AD}\) encuentra \(\overline{AC}\) en \(F\). Demostrar que \(2AF = FC\).

27. Demostrar que las paralelas trazadas a los lados iguales de un triángulo isósceles por un punto cualquiera de la base y limitadas por los lados, tienen por suma el lado igual.

28. Se tiene un triángulo isósceles \(\triangle ABC\) de base \(\overline{BC}\). Sea \(D\) el punto medio de la base. Se prolonga \(\overline{AB}\) en una longitud \(BE = BD\). La recta \(ED\) corta \(\overline{AC}\) en \(F\). Sea \(I\) el punto medio de \(\overline{ED}\). Se prolonga \(\overline{BE}\) en \(EH = EI\). Demostrar que el ángulo \(AFE = 6 EHI\).

29. En un triángulo \(\triangle ABC\) se trazan las medianas \(\overline{AM}\) y \(\overline{BN}\); por \(N\) se traza una paralela a \(\overline{BC}\), por \(C\) una paralela a \(\overline{BN}\); estas dos rectas se cortan en \(P\). Se designa por \(D\) el punto medio de \(\overline{PN}\). Demostrar que \(\overline{CD}\) es paralela a \(\overline{MN}\).

30. Demostrar que la suma de las medidas de las medianas de un triángulo es mayor que los tres cuartos del perímetro del triángulo.

31. (Dificultad: 6/10) En un triángulo \(\triangle ABC\) isósceles, con \(m(\hat{B})=m(\hat{C})=30^\circ\), se trazan las medianas \(\overline{AM}\), \(\overline{BN}\) y \(\overline{CF}\), que se cortan en \(I\). Demuestre que:

a) \(\triangle NIC \cong \triangle FIB\).
b) \(\overline{FN} \parallel \overline{BC}\).

Solución: Ejercicio resuelto paralelismo: congruencia LAL y base media

32. (Dificultad: 7/10) Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa: demostrar que en todo triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa es congruente con la mitad de la hipotenusa.

Solución: Ejercicio resuelto 32 | Geometría euclidiana | Paralelismo y perpendicularidad

33. (Dificultad: 4/10) En un triángulo \(\triangle ABC\) rectángulo en \(C\), se toman los puntos \(D\) sobre el lado \(\overline{AC}\), \(E\) sobre \(\overline{AB}\) y \(F\) sobre \(\overline{CB}\), de tal forma que \(\overline{BF} \cong \overline{BE}\) y \(\overline{AD} \cong \overline{AE}\). Hallar la medida en grados del ángulo \(D\hat{E}F\).

Solución: Ejercicio resuelto 33 | Geometría Euclidiana | Teorema de suma de ángulos interiores en un triángulo