SEGMENTOS DE RECTA

1. Sean $A-B-C-D$ (colineales) tales que $AB=9~cm$, $CA=16~cm$ y $CD=20~cm$. Si $E$ es el punto medio de $\overline{BC}$, calcular la medida de $\overline{ED}$.

2. Sean $A-B-C$ y $D-H-E$ tales que $AB = DH$ y $BC = HE$. Demostrar que $AC = DE$.

3. Sean $A-B-C-D$ tales que $O$ es punto medio de $AD$ y $BC$. Demostrar que $AB=CD$ y que $AC=BD$.

4. (Dificultad: 3/10) Sean $A-B-C-D$. Si $M$ y $N$ son los puntos medios de $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$, respectivamente, probar que:

$$MN = \frac{AC + BD}{2}$$

Solución: Ejercicio resuelto 04 | Segmentos | Puntos medios de dos segmentos

5. (Dificultad: 2/10) Sea D el punto medio del segmento $AB$ y $P$ un punto cualquiera sobre la recta que contiene al segmento $AB$ tal que $A-B-P$. Demostrar que:

$$DP = \frac{AP + BP}{2}$$

Solución: Ejercicio resuelto 5 | Segmentos | Punto medio

6. (Dificultad: 4/10)  EN VIDEO  Sean $A-B-C-D$ tales que:

$$\frac{BC}{m}=\frac{CD}{n}$$

con $m$ y $n$ perteneciendo al conjunto de los números reales. Expresar $AC$ en términos de $AB,~AD,~m$ y $n$.

Solución: Ejercicio resuelto 06 | Segmentos | AC en términos de AB, AD, m y n

7. (Dificultad: 4/10) Sean $A-B-C-D$. Si $BC = CD/2$, demostrar que:

$$AC = \frac{2AB + AD}{3}$$

Solución: Ejercicio resuelto 07 | Segmentos | Geometría Euclidiana

8. (Dificultad: 5/10) Se tienen tres puntos consecutivos $A-B-C$, colineales y en ese orden. Dado que,

$$AC+AB = \frac{5}{4} BC$$

Hallar,

$$\frac{AB}{BC}$$

Solución: Solución ejercicio 8 | Segmentos | Geometría Euclidiana

9. (Dificultad: 9/10) Sea C un punto del segmento $\overline{AB}$ diferente de A y de B, tal que:

$$\frac{AC}{CB} = \frac{AB}{AC}$$

Demostrar que:

$$AC = \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right) AB ~~~~~~ AB = \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right) AC$$

Solución  [Sólo suscriptores] : Ejercicio resuelto 9 | Segmentos de recta | Euclidiana

10. (Dificultad: 7/10) Sean A-B-C tales que $AC=6$ y $AB^2+BC^2=30$. Hallar el valor de:

$$\frac{AB^2}{BC}+\frac{BC^2}{AB}$$

Solución  [Sólo suscriptores] : Ejercicio resuelto 10 | Segmentos | Sistema de ecuaciones

11. (Dificultad: 6/10) Sean A-B-C, de tal modo que $AB \cdot BC = x (AC)^2$. Hallar:

$$\frac{AB}{BC}+\frac{BC}{AB}$$

en términos de $x$.

Solución: Ejercicio resuelto 11 | Segmentos | Suma de fracciones

12. (Dificultad: 6/10) En una recta se ubican los puntos consecutivos $A, B, C, D$, tal que $C$ es el punto medio del segmento $\overline{AD}$. Además, $BD-AB=18$. Hallar la medida del segmento $\overline{BC}$.

Solución: Ejercicio resuelto 12 | Segmentos | Punto medio

13. (Dificultad: 4/10)  Sean $O-A-X-B$, tal que:

$$AX = \frac{n}{m} AB$$

con $n$ y $m$ pertenecientes al conjunto de los números reales positivos. Demostrar que:

$$OX = \frac{(m-n).OA + n.OB}{m}$$

Solución: Ejercicio resuelto 13 | Segmentos | Cuatro puntos

14. (Dificultad: 4/10) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos $A-B-C-D$. Luego, se toman los puntos medios $M$ de $\overline{AB}$ y $N$ de $\overline{CD}$, tal que $MN = x (AD+BC)$. Hallar la medida de $x$.

Solución: Ejercicio resuelto 14 | Segmentos | Puntos medios

15. (Dificultad: 6/10) Sobre una recta se toman los puntos $A-B-C-D$, con $CD=3AC$ y $BD-3AB=28$. Hallar la medida de $BC$.

Solución: Ejercicio resuelto 15 | Segmentos | Hallar la medida de un segmento

16. (Dificultad: 7/10) Considere los puntos $A-M-B-N$ que cumplen con la siguiente condición:

$$\frac{AM}{BM}=\frac{AN}{BN}$$

Demostrar que:

$$\frac{2}{AB}=\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}$$

Solución  [Sólo suscriptores] : Ejercicio resuelto 16 | Segmentos | Suma de fracciones

17. (Dificultad: 6/10) Considere los puntos $A-M-B-N$ que cumplen con la siguiente condición:

$$\frac{AM}{BM}=\frac{AN}{BN}$$

Si $O$ es el punto medio de $\overline{AB}$, demostrar que:

$$(OA)^2=OM.ON$$

Solución: Ejercicio resuelto 17 | Segmentos | Punto medio y proporción

18. (Dificultad: 7/10) Considere los puntos $A-B-P-C$, de modo que $P$ es punto medio de $\overline{BC}$ y, además, $(AB)^2+(AC)^2=46$. Hallar el valor de $(AP)^2+(BP)^2$.

Solución  [Sólo suscriptores] : Ejercicio resuelto 18 | Segmentos | Hallar el valor de

19. (Dificultad: 8/10) Sean $A,~B,~C$ puntos colineales en ese orden tales que $AB-BC=k$, con $k$ un número positivo. Si $M$ y $N$ son puntos medios de $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$, respectivamente, y $P$ es punto medio de $\overline{MN}$. Demuestre que:

$$PB=\frac{k}{4}$$

Solucion  [Sólo suscriptores] : Ejercicio resuelto 19 | Segmentos | Demostrar función de una constante