1. Demostrar que en todo cuadrilátero con dos ángulos opuestos rectos, las bisectrices de los otros dos son paralelas.

2. Demostrar que las bisectrices de los ángulos de un paralelogramo forman un rectángulo.

Recomendación: ver video Cuadriláteros con Inventor. Buscar en el menú de la izquierda.

3. Demostrar que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cualquiera, son los vértices de un paralelogramo.

4. Demostrar que los puntos medios de los lados de un trapecio isósceles son los vértices de un rombo. 

Solución: Ejercicio resuelto 04 | Cuadriláteros | Geometría euclidiana

Otra recomendación: ver video Cuadriláteros con Inventor. Buscar en el menú de la izquierda.

5. Demostrar que el perímetro de un cuadrilátero es mayor que la suma de las diagonales.

6. Por el punto medio M del lado AB de un triángulo ABC, se traza una recta cualquiera MN que encuentra AC en N. Se prolonga MN, en el sentido de N hacia M, en una longitud MP = MN. Demostrar que PB es paralela a AC. 

Recomendación: ver video Cuadriláteros con Inventor. Buscar en el menú de la izquierda.

7. Demostrar que en todo trapecio isósceles: 

a. Las diagonales son congruentes.
b. Los ángulos adyacentes a las bases son congruentes.
c. El punto de encuentro de las prolongaciones de los lados no paralelos, los puntos medios de las bases y el punto de corte de las diagonales, son colineales.

Recomendación: trazar alturas del trapecio y apoyarse en la congruencia de triángulos. No usar las propiedades del trapecio isósceles. Se trata de demostrarlas a partir de la definición.

8. Se unen los vértices B y D de un paralelogramo ABCD con los puntos medios de los lados opuestos. Demostrar que la diagonal AC queda dividida en tres partes iguales.

9. En un triángulo ABC se toman los puntos medios M, N, P de los lados AB, AC y BC. Se traza la altura AH. Demostrar que MNHP (o MNPH) es un trapecio isósceles.

10. Sobre el lado CD del cuadrado ABCD y al interior, se construye un triángulo equilátero CED. Sobre BC y al exterior se construye el triángulo equilátero BCF. Sobre AD como hipotenusa y exteriormente, se construye el triángulo rectángulo isósceles AGD. Demostrar que A, E y F son colineales. Demostrar, además, que G, F y el centro del cuadrado son colineales.

11. Las diagonales del paralelogramo ABCD se cortan en O. Por O se trazan dos rectas tales que una de ellas corta a AB en E y a CD en F y la otra corta a DA en H a BC en L. Demostrar que ELFH es un paralelogramo.

Recomendación: identificar todos los ángulos congruentes debido al teorema de ángulos alternos internos congruentes debido a las paralelas del paralelogramo con las transversales que son las diagonales y las rectas que unen los lados opuestos a través de O. Se puede concluir congruencia de triángulos y demostrar, por ser lados homólogos, que las diagonales de ELFH tienen ambas a O como punto medio.

12. En un trapecio isósceles ABCD de base menor CD, M y N son los puntos medios de las diagonales. Se traza CH perpendicular a AB. Demostrar que MHBN es un paralelogramo.

13. Se considera un trapecio ABCD tal que la base menor DC sea igual a la suma de los lados no paralelos AD y BC. Demostrar que las bisectrices de los ángulos A y B se cortan sobre DC.

Recomendación: ubicar el punto de cruce de las bisectrices dentro del trapecio. Prolongarlas hasta que corten a la base menor. Usar los ángulos congruentes que resultan de trazar las bisectrices y los ángulos alternos internos congruentes que se forman entre las bases paralelas y las bisectrices para demostrar que hay dos triángulos isósceles cuyas bases son las bisectrices para luego concluir que si la base menor mide la suma de los lados no paralelos el punto de cruce coincide con los puntos de cruce de las bisectrices con la base menor.

14. Se tiene un rectángulo ABCD. Se trazan la bisectriz del ángulo A y la perpendicular de C a la diagonal BD que se cortan en P. Demostrar que AC=CP.

15. En un rectángulo ABCD el ángulo O entre las diagonales es \(\alpha\). Se trazan BE perpendicular a AC (A-E-C) y BF bisectriz del ángulo <OBE (D-F-C). Hallar la medida del ángulo <BFC.

16. Demostrar que en todo cuadrilátero convexo, la suma de las diagonales está comprendida entre el perímetro y el semi-perímetro del cuadrilátero.

17. Demostrar que en un cuadrilátero cualquiera los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos, concurren en el punto medio del segmento que une los puntos medios de las diagonales.

Recomendación: es posible construir un cuadrilátero cuyos vértices son, por un lado, los extremos de un segmento que une puntos medios de un par de lados opuestos y, por otro lado, los puntos que resultan de intersectar el otro segmento que une puntos medios con las dos diagonales del cuadrilátero cualquiera. Se puede demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices se acaban de definir es un paralelogramo, dado que es posible demostrar que se forman dos triángulos que tienen a un par de lados opuestos de este paralelogramo como bases medias y en donde ambos triángulos poseen un lado común, el cual permite aplicar el teorema de la base media de un triángulo para concluir que las dos bases medias son lados opuestos paralelos y al mismo tiempo congruentes, lo cual satisface un criterio de paralelogramo.

18. Se tiene un cuadrilátero cualquiera ABCD. Se prolongan loa lados opuestos AB y CD que se cortan en E y los lados opuestos AD y BC que se cortan en F. Demostrar que las bisectrices de los ángulos E y F forman un ángulo igual a la semisuma de dos ángulos opuestos del cuadrilátero ABCD.

19. Demostrar que el ángulo de las bisectrices interiores de dos ángulos opuestos de un cuadrilátero cualquiera, es igual a la semidiferencia de los otros dos ángulos.

20. En un cuadrilátero ABCD, AB=AD y BC=CD. Se prolongan los lados opuestos hasta su encuentro en M y N. Demostrar que MN es paralela a BD.

21. En un cuadrado ABCD se toman sobre los lados AD y DC longitudes iguales AM=DN. Se unen B con M y A con N. Demostrar que \(\overline{AN} \perp \overline{BM}\).

22. (Dificultad: 7/10) [en video] En un paralelogramo ABCD se une el vértice B a los puntos medios de los lados opuestos AD y CD. Demostrar que la diagonal AC queda dividida en tres partes iguales. Recomendación: trazar la diagonal DB. Notar que se forman dos triángulos, el ADB y el DBC, los cuales poseen dos medianas que se cruzan en un punto. Dicho punto es el baricentro. Resolver usando el teorema del baricentro y realizando suma de segmentos.

Solución: Ejercicio resuelto 22 | Cuadriláteros | Geometría euclidiana 

23. Se da un rombo ABCD. Desde los vértices B y D se trazan perpendiculares BM, BN, DP, DQ a los lados opuestos; estas perpendiculares se cortan en E y F. Demostrar que los ángulos del cuadrilátero BFDE son iguales a los del rombo y que también es un rombo.

24. Demostrar que las bisectrices interiores de los ángulos de un cuadrilátero cualquiera determinan otro cuadrilátero cuyos ángulos opuestos son suplementarios.

25. Se considera un paralelogramo ABCD en el cual CD=2AD. Se unen A y B con el punto medio M de CD. Demostrar que el ángulo <AMB es recto.

Recomendación: notar que los triángulos ADM y BCM son isósceles debido a que CD=2AD. Usando el teorema de ángulos alternos internos entre paralelas y una transversal y suma de ángulos internos en triángulos se puede mostrar que el ángulo AMB tiene la medida solicitada, sin olvidar que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes.

26. Se tiene un paralelogramo ABCD. Se traza la diagonal \(\overline{AC}\) y las bisectrices \(\overline{BN}\) y \(\overline{DM}\), tal que \(A-M-N-C\). Adicionalmente, la prolongación de \(\overline{DM}\) interseca al lado \(\overline{AB}\) en \(R\) y la de \(\overline{BN}\) al lado \(\overline{DC}\) en \(S\). Demostrar:

a) \(\triangle NCS \cong \triangle MAR\).

b) \(DNBM\) es un paralelogramo.

Solución: Solución ejercicio 26 | Cuadriláteros | Geometría Euclidiana

27. Considere un triángulo equilátero \(\triangle ABC\) cuyos lados miden \(a\) unidades. Desde el vértice \(A\) se traza la mediana \( \overline{AM} \) y a partir de \(M\) se prolonga dicha mediana hasta el punto \(E\), de forma que \(AE=a\). Demostrar que el cuadrilátero formado por los puntos medios L, N, D y F, de los segmentos \(\overline{AB}\), \(\overline{AC}\), \(\overline{CE}\) y \(\overline{BE}\), respectivamente, es un cuadrado.

Solución: Ejercicio 27 | Cuadriláteros | Geometría Euclidiana

28. (Dificultad: 4/10) En un paralelogramo \(ABCD\) se traza la diagonal \(\overline{AC}\) y las perpendiculares a dicha diagonal, \(\overline{BN}\) y \(\overline{DM}\), tal que \(A-M-N-C\) (esto quiere decir que son puntos colineales y en ese orden). Demostrar que \(DMBN\) también es un paralelogramo.

Solución: Ejercicio resuelto 28 | Geometría Euclidiana | Cuadriláteros | Paralelogramo

29. (Dificultad: 6/10) Las diagonales \(\overline{AC}\) y \(\overline{BD}\) de un trapecio isósceles son perpendiculares a los lados no paralelos \(\overline{BC}\) y \(\overline{AD}\). La base mayor \(\overline{AB}\) mide el doble de la base menor. Si \(P\) es punto medio de \(\overline{AB}\), demostrar que el triángulo \(\triangle PCB\) es equilátero.

Solución: Ejercicio resuelto 29 | Geometría Euclidiana | Cuadriláteros | Trapecio isósceles