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1. En un círculo O, se prolonga una cuerda AB en una longitud BC igual al radio; se traza la recta CFOE (un diámetro prolongado). Probar que se tendrá <AOE=3<ACE.


2. En una C(O;r) se trazan un diámetro AB y un radio OC perpendicular a AB; se prolonga AB a cada lado y en el exterior de la circunferencia en longitudes iguales AE=BD; se trazan CE y CD que cortan a la circunferencia en F y G. Probar que: <OFC=<OGC.

Solución: Ejercicio resuelto de circunferencia No. 2: congruencia de ángulos


3. Un triángulo ABC está inscrito en un círculo O; sus alturas se cortan en H. Demostrar que la recta que une el punto medio N de AH con el punto medio P de AB, es paralela a la recta que une O con el punto medio Q de AC. Demostrar que OPNQ es un paralelogramo.


4. Del vértice A de un triángulo equilátero ABC, como centro y con el lado como radio, se describe entre B y C un arco de círculo (menor que una circunferencia); sobre dicho arco se toma un punto D cualquiera y se trazan BD y DC. Demostrar que la recta que une el punto medio de AB con el punto medio de DC es perpendicular a la recta que une el punto medio de AC con el punto medio de BD.


5. Dos circunferencias C(O;r) y C(O';r') son secantes en A y B; por A se trazan los diámetros AC y AD. Demostrar que C, B y D están alineados.

Solucion: Ejercicio resuelto de circunferencia No. 5: circunferencias secantes


6. Se da una circunferencia de centro O. Un diámetro AB y una cuerda AC forman un ángulo de 30°; se traza una tangente en el punto C, que encuentra la prolongación del diámetro AB en D. Demostrar que el triángulo ACD es isósceles.


7. Se traza una cuerda que corta a dos circunferencias concéntricas, a la menor en A y B, y a la mayor en C y D. Demostrar que AC=BD y AD=BC.


8. Sean BB' y CC' las alturas de un triángulo ABC. Se trazan \(\overline{C'H} \perp \overline{AC}\) y \(\overline{B'G} \perp \overline{AB}\). Demostrar que GH es paralela a BC.


9. En una C(O;r) se traza una cuerda AB y se toman los puntos medios M del arco mayor AB y N del arco menor AB. Se trazan las bisectrices de los ángulos MAB y MBA que se cortan en I y cortan a la circunferencia en D y F; se traza DF que corta a MN en H. Demostrar que:

a. El punto I está sobre la recta MN.
b. DH=HF.


10. En una C(O;r) se tienen un diámetro AB y una cuerda cualquiera CD; De A se traza la cuerda AE perpendicular a la dirección de CD y de B se traza la cuerda BF perpendicular a CD; AE y BF prolongados cortan a CD o a sus prolongaciones en G y H. Demostrar que: EG=BH y HC=DG.


11. Por el punto de contacto A de dos círculos tangentes exteriormente se traza una cuerda BAC. Demostrar que las tangentes en B y C son paralelas.


12. Dos círculos O y O’ se cortan en A y D. Se une A con el punto medio M de OO’ y se traza la perpendicular a AM en A, que encuentra a O en B y a O’ en C. Demostrar que AB=AC.


13. En un círculo O se traza una cuerda AB sobre la cual se toma un punto D que se une con un punto C cualquiera de la circunferencia. Se trazan las mediatrices de AD y CD que se cortan en M. Demostrar que OM es perpendicular a AC.


14. Se hace pasar un círculo por los puntos medios de los lados de un triángulo rectángulo. Demostrar que el arco exterior a la hipotenusa es igual a la diferencia de los arcos exteriores a los catetos.


15. En un semicírculo de diámetro AB se traza una cuerda AC tal BAC=20°. Se traza luego la tangente ZDZ’ paralela a AC. Hallar los ángulos ADZ y BDZ’


16. Dados dos puntos A y B sobre una C(O;r) se trazan dos cuerdas cualesquiera AM y AN; después las cuerdas \(\overline{BM'} \parallel \overline{AM}\) y \(\overline{BN'} \parallel \overline{AN}\). Demostrar que \(\overline{MN'} \parallel \overline{M'N}\).


17. En un triángulo ABC acutángulo se trazan las alturas AD y BE. Probar que la circunferencia de diámetro AB pasa por los pies D y E de las alturas. Si el <BAC = 64°, calcular el ángulo <ADE.


18. Se da un triángulo ABC inscrito en un círculo O. Se trazan las bisectrices de los ángulos A y B que se cortan en I y que encuentran el círculo en D y F. Demostrar que DI = DB. 

Solución: Ejercicio resuelto de circunferencia No. 18: ángulo inscrito triángulo isósceles


19. Demostrar que en todo triángulo rectángulo, la suma de los catetos es igual a la suma de los diámetros de los círculos inscrito y circunscrito al triángulo.


20. En un triángulo rectángulo se inscribe un cuadrado en el cual el lado está sobre la hipotenusa. Demostrar que la recta que une el vértice del ángulo recto con el centro del cuadrado es la bisectriz del ángulo recto.


21. Encontrar los ángulos de un cuadrilátero inscriptible ABCD, si AC forma con los lados AB y AD ángulos de 45° y con BD un ángulo de 70°.

Solución: Ejercicio 21 | Geometría Euclidiana | Circunferencia | Teoremas ángulo inscrito e interior


22. Considerar una C(O;r) y una C(O';r') tangentes en un punto A; se trazan en la C(O; r) una cuerda AM y en la C(O';r') la cuerda \(\overline{AN} \perp \overline{AM}\). Probar que \(\overline{OM}\parallel \overline{O'N}\).


23. Sobre una circunferencia de radio r, y unos a continuación de otros, se consideran los arcos siguientes: AB=90°, BC=60°, CD=45°, DE=105°. Hallar:

a. El valor del arco EA.
b. El valor de cada uno de los ángulos ABC, BCD, CDE, DEA, EAB.
c. El valor de los ángulos en H (H intersección de EB y AD).
d. El valor del ángulo EIB (I intersección ED y BC).
e. El valor de cada uno de los ángulos CBF y ABT (FBT tangente en B).


24. Dos circunferencias son tangentes interiormente en A. Demostrar que si se traza en la mayor una cuerda BC tangente a la menor en D, la recta AD es bisectriz del BAC.


25. Dos círculos O y O' se cortan en C y D de tal manera que cada uno de ellos pasa por el centro del otro. Por C se traza una cuerda que encuentra O' en M y O en N. Demostrar que el triángulo MDN es equilátero.

Solución: Ejercicio resuelto de circunferencia No. 25: triángulo equilátero


26. Haciendo centro en un punto A de la circunferencia de centro O, se describe un círculo tangente al diámetro BC del círculo O. De B y C se trazan tangentes al círculo de centro A. Demostrar que dichas tangentes son paralelas.


27. Por F, punto medio del arco AB de un círculo, se trazan dos cuerdas cualesquiera, FG y FH, que cortan la cuerda AB en K y L respectivamente. Demostrar que el cuadrilátero KLHG es inscriptible.


28. Se tiene un cuadrilátero MNPR inscrito en una circunferencia, y el cuadrilátero circunscrito ABCD, cuyos lados AB, BC, CD y DA, son tangentes a la circunferencia respectivamente en N, P, R y M.

a. Demostrar que AD + BC = DC + AB.
b. Si los arcos MN, MR miden 110° y 120° y el <MIN = 95°, siendo I el punto donde concurren las diagonales del MNPR, calcular los ángulos de los dos cuadriláteros.


29. Sea ABC un triángulo rectángulo en A e I el centro del círculo inscrito. Demostrar que la hipotenusa BC es el lado del cuadrado inscrito en un círculo que pasa por los puntos B, C e I.


30. Por los puntos A y B de intersección de dos circunferencias se trazan dos cuerdas cualesquiera MAN y PBQ. Demostrar que MP y NQ son paralelas.


31. En una semicircunferencia con centro en \(O\) y diámetro \( \overline{EA} \), se inscribe el ángulo \(E\hat{C}A\). Se traza el radio \(\overline{OD}\) que biseca la cuerda \(\overline{EC}\) en \(F\), con \(O-F-D\), y el radio \(\overline{OB}\) que biseca la cuerda \(\overline{CA}\) en H, con \(O-H-B\). Demostrar:

a. \(\overline{OD} \perp \overline{OB} \).

b. \(OHCF\) es un rectángulo.

Solución: Solución ejercicio 31 | Circunferencia | Geometría Euclidiana