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Dos circunferencias C(O,r) y C(O',r') son secantes en A y B. Por A se trazan los diámetros \(\overline{AC}\) y \(\overline{AD}\). Demostrar que C, B y D están alineados.

Hipótesis:
\(C(O,r) \cap C(O',r') =\{A,B\}\) (circunferencias secantes).
\(\overline{AC}\) y \(\overline{AD}\) diámetros.

Tesis:
\(C-B-D\) (alineados).

Proposición - Razón

1. Trazo \(\overline{OB}\), \(\overline{O'B}\), \(\overline{CB}\) y \(\overline{BD}\). Por construcción.

2. \(\overline{OA} \cong \overline{OC} \cong \overline{OB}\) y \(\overline{O'A} \cong \overline{O'B} \cong \overline{O'D}\) Por ser segmentos radiales (Teorema: en una circunferencia todos los radios son congruentes).

3. \(OA=OC=OB\) y \(O'A=O'B=O'D\) Por definición de segmentos congruentes. De 2.

4. \(AC=AO+OC\) y \(AD=AO'+O'D\) Por suma de segmentos.

5. \(AC=OB+OB\) y \(AD=O'B+O'B\) Por sustitución de 3 en 4.

6. \(AC=2OB\) y \(AD=2O'B\) Por propiedad de los reales. De 5.

7. \(\triangle ACB\) y \(\triangle ADB\) rectángulos en B. Por Teorema (mediana relativa a la hipotenusa): si en un triángulo un lado es el doble de su respectiva mediana, entonces el triángulo es rectángulo.

8. \(m(A \hat{B} C)=m(A \hat{B} D)=90^o\) Por definición de triángulo rectángulo. De 7.

9. \(m(C \hat{B} D) = m(A \hat{B} C)+m(A \hat{B} D)\) Por suma de ángulos.

10. \(m(C \hat{B} D) = 180^o\) Por sustitución de 8 en 9 y propiedad de los reales.

11. C-B-D (colineales) Por teorema: si dos ángulos adyacentes \(A \hat{B} C\) y \(C \hat{B} D\) son suplementarios entonces forman un par lineal y por lo tanto los puntos A, B y D son colineales. l.q.q.d.