: Última actualización: 14 Junio 2020; Visto: 30723

DEFINICIÓN DE TRIÁNGULO

Un triángulo es un polígono de tres vértices. Tiene tres lados, tres ángulos interiores y tres ángulos exteriores. Si los vértices son A, B y C lo denotamos $\triangle ABC$.

CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS

Un triángulo es:

ESCALENO: si tiene sus tres lados desiguales.
ISÓSCELES: si tiene por lo menos un par de lados congruentes. Si $\overline{AB} \cong \overline{AC}$ entonces se dice que el $\triangle ABC$ es isósceles de base $\overline{BC}$.
EQUILÁTERO: si tiene sus tres lados congruentes.

CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS

Un triángulo es:

ACUTÁNGULO: Si tiene los tres ángulos agudos.
RECTÁNGULO: Si tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa y los lados que lo forman son los catetos.
OBTUSÁNGULO: Si tiene un ángulo obtuso.
EQUIÁNGULO: Si tiene los tres ángulos congruentes.

TEOREMA

Todo triángulo equilátero es isósceles. El recíproco es falso.

LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

MEDIANA: es el segmento que une un vértice con el punto medio de su lado opuesto. Por ejemplo, el segmento $\overline{AM}$. Todo triángulo tiene tres medianas, las cuales se intersecan en el baricentro.

Mediana

ALTURA: es la perpendicular trazada desde un vértice a su lado opuesto o a su prolongación. En la figura de la izquierda la altura $\overline{AH}$ es interior al triángulo $\triangle ABC$, mientras que en la figura de la derecha la altura $\overline{AH}$ es exterior al triángulo, y se forma entre el vértice $A$ y la prolongación del lado $\overline{CB}$. Todo triángulo tiene tres alturas, las cuales se intersecan en el ortocentro.

MEDIATRIZ: es la perpendicular que pasa por el punto medio de un lado. Por ejemplo, el segmento $\overline{MN}$. Todo triángulo tiene tres mediatrices, las cuales se intersecan en el circuncentro.
BISECTRIZ: divide el ángulo interior o exteriores de cada vértice en dos ángulos congruentes. Por ejemplo, el segmento $\overline{AD}$ divide al ángulo interior $B\hat{A}C$ en dos ángulos con igual medida $\beta$. El ángulo exterior que se forma en $A$ también posee una bisectriz exterior que divide al ángulo exterior en dos ángulos congruentes $\theta$. Recordar que el ángulo exterior de un triángulo se forma entre un lado y la prolongación de uno de los dos lados restantes. Todo triángulo tiene tres bisectrices interiores y tres bisectrices exteriores. Las tres bisectrices interiores se intersecan en el incentro.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN: dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes y sus tres ángulos respectivamente congruentes. Dos elementos respectivamente congruentes son homólogos. Se puede escribir: LsHs (Lados Homólogos) y AsHs (Ángulos Homólogos). Entonces:

$$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$$

$$\text{Sí y sólo si se cumplen las seis condiciones siguientes:}$$

$$ 1.~\overline{AB} \cong \overline{A'B'} $$

$$ 2.~\overline{BC} \cong \overline{B'C'} $$

$$ 3.~\overline{AC} \cong \overline{A'C'} $$

$$ 4.~ \hat{A} \cong \hat{A'} $$

$$ 5.~ \hat{B} \cong \hat{B'} $$

$$ 6.~ \hat{C} \cong \hat{C'} $$

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

1. CRITERIO LADO-ÁNGULO-LADO (LAL)

Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo congruente formado por lados respectivamente congruentes.

$$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$$

$$\text{Sí y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes, en ese orden:}$$

$$ 1.~\overline{AB} \cong \overline{A'B'} $$

$$ 4.~ \hat{A} \cong \hat{A'} $$

$$ 3.~\overline{AC} \cong \overline{A'C'} $$

COROLARIOS

En todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes.
Todo triángulo equilátero es equiángulo.
En todo triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo opuesto a la base también es mediana, altura y mediatriz con respecto a la base.
Por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una perpendicular a ella.
En todo triángulo, cada ángulo exterior es mayor que cualquiera de los dos ángulos interiores no adyacentes.
Todo triángulo tiene por lo menos dos ángulos agudos.

2. CRITERIO ÁNGULO-LADO-ÁNGULO (ALA)

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos y el lado común a ellos.

$$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$$

$$\text{Sí y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes, en ese orden:}$$

$$ 4.~ \hat{A} \cong \hat{A'} $$

$$ 3.~\overline{AC} \cong \overline{A'C'} $$

$$ 6.~ \hat{C} \cong \hat{C'} $$

COROLARIOS

Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes entonces es isósceles.
Todo triángulo equiángulo es equilátero.

3. CRITERIO LADO-LADO-LADO (LLL)

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes.

$$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$$

$$\text{Sí y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:}$$

$$ 1.~\overline{AB} \cong \overline{A'B'} $$

$$ 2.~\overline{BC} \cong \overline{B'C'} $$

$$ 3.~\overline{AC} \cong \overline{A'C'} $$

4. CRITERIO ÁNGULO-ÁNGULO-LADO (A₁A₂L₁)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado opuesto a uno de ellos congruente.

$$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$$

$$\text{Sí y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:}$$

$$ 4.~ \hat{A} \cong \hat{A'} $$

$$ 6.~ \hat{C} \cong \hat{C'} $$

$$ 2.~\overline{BC} \cong \overline{B'C'}~\text{opuestos a A y A', respectivamente}$$

5. CRITERIO RHC DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un cateto.