Durante las demostraciones en Geometría Euclidiana nos referimos a las propiedades de los números reales con su nombre, enunciándolas o bien como propiedades de los números reales simplemente. En esta sección se omitirán las propiedades de las desigualdades (relaciones de orden).

Propiedades de la igualdad

1. Reflexiva: \(a=a\).
2. Simétrica: si \(a=b \rightarrow b=a\).
3. Transitiva: si \(a=b \land b=c \rightarrow a=c\).
4. Aditiva: si \(a=b \land c=d \rightarrow (a+c)=(b+d)\).
5. De la sustracción: si \(a=b \land c=d \rightarrow (a-c)=(b-d)\).
6. Multiplicativa: si \(a=b \land c=d \rightarrow ac=bd\).
7. De la división: si \(a=b \land c=d \rightarrow a/c=b/d\) con \(c \neq 0 \land d \neq 0\).
8. Cancelativa: si \( (ac=bc \land c \neq 0) \rightarrow a=b \).
9. Sustitutiva: una ecuación no cambia de validez si una expresión se sustituye por otra equivalente.

Las propiedades de la adición y la multiplicación constituyen las propiedades de campo de los números reales.

Propiedades de la adición

Si \(a, b, c \in R \), entonces se cumple:

1. Cerradura: \(a+b\) es un número real.
2. Asociativa: \( (a+b)+c=a+(b+c)\).
3. Modulativa: \( a+0=0+a=a \).
4. Invertiva: \( a+(-a)=(-a)+a=a-a=0 \).
5. Conmutativa: \( a+b=b+a \).

Propiedades de la multiplicación

Si \(a, b, c \in R \), entonces se cumple:

1. Cerradura: \( a.b \) es un número real.
2. Asociativa: \( a.(b.c)=(a.b).c \)
3. Conmutativa: \( a.b=b.a \)
4. Modulativa: \( 1.a=a \)
5. Invertiva: \( a.(1/a)=(1/a).a=1 \), con \( a \neq 0 \).
6. Distributiva: \( a.(b+c)=(b+c).a=ab+ac \).