En esta sección hallará definiciones y teoremas del tema de circunferencia de Geometría Euclidiana. Si desea acceder a algunos ejercicios resueltos del tema, puede visitar el siguiente vínculo:

DEFINICIONES DEL TEMA DE CIRCUNFERENCIA

CIRCUNFERENCIA: Dados un plano $\pi$, un punto O en dicho plano y un número real positivo r, (r > 0), se llama “Circunferencia de centro O y radio r”, “C(O; r)”, al conjunto formado por todos los puntos P del plano $\pi$, tales que OP = r.

RADIO: Segmento que une el centro con un punto de la circunferencia, por ejemplo: $\overline{OA}$, $\overline{OB}$, $\overline{OC}$, $\overline{OD}$, $\overline{OE}$ y $\overline{OF}$.

CUERDA: Segmento cuyos extremos son puntos de la circunferencia, por ejemplo: $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$.

DIÁMETRO: Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia, por ejemplo: $\overline{CD}$.

ÁNGULO CENTRAL: Ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia, por ejemplo: $\angle EOF=\alpha$.

ARCO: Subconjunto de la circunferencia limitado por dos puntos de ella, por ejemplo: arco $\overset{\LARGE\frown}{AB}$. Si son extremos de un diámetro, los arcos se llaman semicircunferencias, por ejemplo: $\overset{\LARGE\frown}{CAD}$ y $\overset{\LARGE\frown}{CED}$.

CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS: Las que tienen el mismo centro.

TEOREMA: En una circunferencia, todos los radios son congruentes; todos los diámetros son congruentes; el diámetro es el doble del radio y el diámetro es la mayor cuerda.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE UN PUNTO Y UNA CIRCUNFERENCIA

En un plano, dada una C(O; r) y un punto P:

1. P es INTERIOR a C(O; r), si OP < r.
2. P está SOBRE la C(O; r), si OP = r.
3. P es EXTERIOR a C(O; r), si OP > r.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA CIRCUNFERENCIA

TEOREMA: Dada una circunferencia C(O; r) y dado un punto P en su plano, entonces los extremos del diámetro AB, contenido en la recta OP, son los puntos de la circunferencia que están a la menor y a la mayor distancia del punto dado.

La distancia del punto P a la C(O; r) es la distancia entre P y el extremo de dicho diámetro que esté más próximo a P, en la gráfica por ejemplo es PB.

TEOREMA: Por tres puntos colineales no pasa ninguna circunferencia.

COROLARIO: Tres puntos de una circunferencia no pueden ser colineales. Intuitivamente “la circunferencia no tiene ningún tramo rectilíneo”.

CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR TRES PUNTOS NO ALINEADOS DADOS

TEOREMA: Por tres puntos A, B y C no alineados, pasa una y sólo una circunferencia que tiene por centro el circuncentro O del triángulo ABC.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

1. Una recta es EXTERIOR a una circunferencia si no tiene puntos comunes con ella.

2. Una recta es TANGENTE a una circunferencia si tiene exactamente un punto común con ella, llamado punto de tangencia.

3. Una recta es SECANTE a una circunferencia si tiene exactamente dos puntos comunes con ella.

TEOREMA: Si una recta es tangente a una circunferencia entonces es perpendicular al radio que llega al punto de tangencia.

TEOREMA: Dadas una recta y una circunferencia de radio r, si d es la distancia del centro a la recta, entonces:

1. La recta es secante a la circunferencia si y sólo si d < r.

2. La recta es tangente a la circunferencia si y sólo si d = r.

3. La recta es exterior a la circunferencia si y sólo si d > r.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS

Dos circunferencias son:

1. EXTERIORES: Si todos los puntos de cada una de ellas son exteriores a la otra.
2. TANGENTES EXTERIORES: Si tienen un punto común y los demás puntos de cada una de ellas son exteriores a la otra.
3. SECANTES: Si tienen exactamente dos puntos comunes.
4. TANGENTES INTERIORES: Si tienen un punto común y los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra, entonces la primera es tangente interior a la segunda.
5. INTERIORES: Si no tienen puntos comunes y todos los puntos de una de ellas son interiores a la otra, entonces la primera es interior a la segunda.

TEOREMA: Si dos circunferencias no concéntricas tienen un punto común exterior a la recta de los centros entonces son secantes y recíprocamente.

TEOREMA: Si dos circunferencias son secantes entonces la línea de sus centros es la mediatriz de su cuerda común y es la bisectriz de los ángulos centrales subtendidos por la cuerda.

TEOREMA: Si dos circunferencias son tangentes entonces los centros y su punto de tangencia son colineales y recíprocamente.

TEOREMA: Dadas dos circunferencias C(O; r) y C(O’; r’), entonces ellas son:

1. Exteriores: si y sólo si $OO’ > r + r’$.

2. Tangentes exteriores: si y sólo si $OO’ = r + r’$.

3. Secantes: si y sólo si $|r-r'|< OO’ < r+r'$.

4. Tangentes interiores: si y sólo si $OO’ = | r-r’|$.

5. Interiores: si y sólo si $OO’ < | r-r'|$.

ARCOS Y CUERDAS

CIRCUNFERENCIAS CONGRUENTES: Dos circunferencias son congruentes si sus radios tienen igual medida.

ARCOS CONGRUENTES: Dos arcos de una misma circunferencia o de circunferencias congruentes son congruentes si subtienden ángulos centrales congruentes.

ARCOS DESIGUALES: Dos arcos de una misma circunferencia o de circunferencias congruentes son desiguales si subtienden ángulos centrales desiguales y será mayor el que subtienda mayor ángulo central.

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO: La medida angular de un arco es la medida del ángulo central que subtiende.

TEOREMA: En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes:

1. Dos ángulos centrales son congruentes sii subtienden cuerdas congruentes.
2. Dos cuerdas son congruentes sii subtienden arcos congruentes.
3. La menor de dos cuerdas desiguales subtiende un arco menor y un ángulo central menor y recíprocamente.
4. Dos cuerdas congruentes equidistan del centro y recíprocamente.
5. La mayor de dos cuerdas desiguales está más próxima al centro y recíprocamente.

PROPIEDADES DE UN DIÁMETRO PERPENDICULAR A UNA CUERDA

TEOREMA: Dada una cuerda, si otra cuerda secante a ella cumple dos de las siguientes propiedades entonces las cumple todas:

1. Es diámetro: $\overline{NP}$.
2. Es perpendicular a la cuerda: $\overline{NP} \perp \overline{AB}$.
3. Pasa por el punto medio de la cuerda: $M$ punto medio de $\overline{AB}$.
4. Pasa por el punto medio del arco menor: $P$ punto medio de arco $\overset{\LARGE\frown}{AB}$.
5. Pasa por el punto medio del arco mayor: $N$ punto medio de arco $\overset{\LARGE\frown}{ANB}$.
6. Es bisectriz del ángulo central que la cuerda subtiende: $\overline{OP}$ bisectriz de $\angle{AOB}$ y $\overline{ON}$ bisectriz de $\angle{AOB}$.

ARCOS Y PARALELAS

TEOREMA: Dos arcos o dos cuerdas comprendidos entre dos rectas paralelas son congruentes.

TEOREMA: (Criterio de paralelismo): Si en una circunferencia dos cuerdas o dos arcos son congruentes entonces sus extremos determinan un par de rectas paralelas.

ÁNGULOS RELACIONADOS CON LA CIRCUNFERENCIA

1. ÁNGULO INSCRITO: El vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos semirrectas secantes a la circunferencia, por ejemplo el ángulo $\angle{ABC}$.

2. ÁNGULO SEMIINSCRITO: El vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos semirrectas una tangente y la otra secante a la circunferencia, por ejemplo el ángulo $\angle{DEF}$.

3. ÁNGULO INTERIOR: El vértice es punto interior a la circunferencia y sus lados son dos semirrectas secantes a la circunferencia, por ejemplo el ángulo $\angle{GHT}$.

4. ÁNGULO EXTERIOR: El vértice es punto exterior a la circunferencia y sus lados son semirrectas tangentes y/o secantes a la circunferencia, por ejemplo los ángulos $\angle{LMT}$, $\angle{LMN}$ y $\angle{LMP}$.

TEOREMAS: En una circunferencia, en medidas angulares:

1. Teorema del ángulo inscrito

Un ángulo inscrito mide la mitad del arco comprendido entre sus lados, por ejemplo:

$$\angle{ABC}_{inscrito}=\frac{\overset{\LARGE\frown}{AC}}{2}$$

Tener en cuenta que la medida del arco AC es el valor del ángulo central subtendido por el arco AC.

Corolarios del teorema del ángulo inscrito

Corolario 1

Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son congruentes. Entonces, si $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ son ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, se cumple que:

$$\alpha=\beta=\gamma=\frac{\overset{\LARGE\frown}{DE}}{2}$$

Corolario 2

Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos. Dicho esto, si $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ son ángulos inscritos en una semicircunferencia, siendo $\overline{AB}$ diámetro, entonces se cumple que:

$$\alpha = \beta = \gamma = \frac{\overset{\LARGE\frown}{AB}}{2} = \frac{180°}{2} = 90°$$

2. Teorema del ángulo semiinscrito

Un ángulo semiinscrito mide la mitad del arco comprendido entre sus lados, por ejemplo:

$$\angle{DEF}_{semiinscrito} = \frac{\overset{\LARGE\frown}{DE}}{2}$$

3. Teorema del ángulo interior

Un ángulo interior mide la semisuma del arco comprendido entre sus lados y el arco comprendido entre las prolongaciones de ellos, por ejemplo:

$$\angle{GHT}_{interior} =\angle{KHQ}_{interior} =\frac{\overset{\LARGE\frown}{GT}+\overset{\LARGE\frown}{KQ}}{2}$$

$$\angle{KHG}_{interior} =\angle{QHT}_{interior} =\frac{\overset{\LARGE\frown}{KG}+\overset{\LARGE\frown}{QT}}{2}$$

4. Teorema del ángulo exterior

Un ángulo exterior mide la semidiferencia de los arcos mayor y menor comprendidos entre sus lados. Tres posibilidades de aplicación del teorema dependen de cómo se forma el ángulo exterior, es decir: a) con dos lados tangentes, b) con un lado tangente y uno secante y c) con dos lados sectantes a la circunferencia.

$$\angle{LMT}= \frac{\overset{\LARGE\frown}{LNT}-\overset{\LARGE\frown}{LJT}}{2}$$

$$\angle{LMN}= \frac{\overset{\LARGE\frown}{LN}-\overset{\LARGE\frown}{LJ}}{2}$$

$$\angle{NMP}= \frac{\overset{\LARGE\frown}{NP}-\overset{\LARGE\frown}{JS}}{2}$$

ARCO CAPAZ (Lugar Geométrico)

TEOREMA: Dado un segmento $\overline{AB}$ y dado un ángulo, $0° < \alpha < 180°$, entonces existen dos arcos de extremos A y B, (sobre circunferencias congruentes y simétricas con respecto a la recta AB), tales que la unión de dichos arcos, excepto los puntos A y B, forman el lugar geométrico de los puntos P del plano, para los cuales $\angle{APB} = \alpha$.

ARCO CAPAZ: Dado un segmento AB y dado un ángulo $\alpha$, tal que $0° < \alpha < 180°$, el ''arco capaz del segmento $\overline{AB}$ bajo el ángulo $\alpha$'', es cada uno de los arcos a los que se refiere el teorema anterior.

TEOREMA: El arco capaz de un segmento, bajo 90° es la semicircunferencia que le tiene por diámetro.

PROPIEDADES DE LAS RECTAS TANGENTES DESDE UN PUNTO EXTERIOR

TEOREMA: Sean PA y PB los segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un punto P exterior a ella, (A y B puntos de tangencia), entonces:

1. Las tangentes son congruentes $PA = PB$.
2. $\overline{OP}$ es bisectriz del ángulo $\angle{AOB}$ y del ángulo $\angle{APB}$.
3. $\angle{AOB}=\angle{TPB}$ (exterior) del cuadrilátero $PAOB$.