ÁNGULOS

1. (Dificultad: 2/10) Encontrar la medida de un ángulo sabiendo que 4 veces su medida es igual a 5 veces la medida de su suplemento.

2. (Dificultad: 2/10) Si uno de dos ángulos suplementarios tiene una medida de 50° más que la del otro, ¿cuál es la medida de cada ángulo?

3. (Dificultad: 4/10) Las semirrectas \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\) y \(\overrightarrow{OD}\) son coplanares (se encuentran en un mismo plano) y forman ángulos tales que: \(m(D\hat{O}A)=m(C\hat{O}B)=2m(A\hat{O}B)\), \(m(C\hat{O}D)=3m(A\hat{O}B)\). Hallar la medida de cada uno de los ángulos.

4. (Dificultad: 5/10) Demostrar que si dos ángulos agudos u obtusos, con vértice común, tienen sus lados respectivamente perpendiculares, sus bisectrices son perpendiculares. Sugerencia: considere los ángulos con vértice común.

5. (Dificultad: 5/10) Si \(m(B\hat{O}C) = 45°\), \(m(C\hat{O}D) = 85°\), hallar la \(m(BOD)\) si:
a. C es interior a \(B\hat{O}D\).
b. C es exterior a \(B\hat{O}D\).

6. (Dificultad: 5/10) Las semirrectas \(\overrightarrow{OA}\) y \(\overrightarrow{OB}\) forman con \(\overrightarrow{OX}\) los ángulos \(\alpha\) y \(\beta\) (\(\overrightarrow{OX}\) exterior a \(A\hat{O}B)\). Demostrar que la bisectriz del ángulo \(A\hat{O}B\) forma con \(\overrightarrow{OX}\) un ángulo igual a \((\alpha + \beta)/2\).

Solución: Solución ejercicio 06 | Ángulos | Geometría Euclidiana

7. (Dificultad: 6/10) Cinco semirrectas consecutivas \(\overrightarrow{OA},~\overrightarrow{OB},~\overrightarrow{OC},~\overrightarrow{OD},~\overrightarrow{OE}\), forman 5 ángulos adyacentes consecutivos. Calcular estos ángulos sabiendo que los cuatro primeros son entre sí como 1, 2, 3, 4 y que \(\overrightarrow{OD}\) es la prolongación de la bisectriz del ángulo \(A\hat{O}B\).

8. (Dificultad: 7/10) Sean los ángulos \(A\hat{O}B\) y \(B\hat{O}C\) adyacentes, tales que \(m(A\hat{O}B)-m(B\hat{O}C)=40^\circ\). Si \(\overrightarrow{OX}\), \(\overrightarrow{OY}\) y \(\overrightarrow{OZ}\) son las bisectrices de \(A\hat{O}B\), \(B\hat{O}C\) y \(X\hat{O}Y\), respectivamente, hallar la medida del ángulo que forma \(\overrightarrow{OZ}\) con \(\overrightarrow{OB}\).

Solución: Ejercicio resuelto 08 | Ángulos | Geometría Euclidiana

9. (Dificultad: 5/10)Se tienen dos ángulos adyacentes \(A\hat{O}B\) y \(B\hat{O}C\), con \(A\hat{O}B<B\hat{O}C\). Se traza la bisectriz \(\overrightarrow{OM}\) de \(A\hat{O}C\). Si los ángulos \(B\hat{O}C\) y \(B\hat{O}M\) miden \(60°\) y \(20°\), respectivamente, calcular la medida de \(A\hat{O}B\).

Solución: Solución ejercicio 9 | Ángulos | Geometría Euclidiana

10. (Dificultad: 5/10) Las semirrectas \(\overrightarrow{OA}\) y \(\overrightarrow{OB}\) forman con la semirrecta \(\overrightarrow{OX}\) los ángulos \(\alpha\) y \(\beta\), respectivamente, con \(\alpha>\beta\) y \(\overrightarrow{OX}\) en el interior de \(A\hat{O}B\). Demostrar que la bisectriz \(\overrightarrow{OC}\) de \(A\hat{O}B\) forma con \(\overrightarrow{OX}\) un ángulo cuya medida es \( (\alpha - \beta) / 2\).

Solución: Ejercicio resuelto 10 | Ángulos | Geometría Euclidiana

11. (Dificultad: 5/10) Se tienen los ángulos \(A\hat{O}B\) y \(B\hat{O}C\) adyacentes, con \(C\) exterior al ángulo \(A\hat{O}B\) y \(m(A\hat{O}B)>m(B\hat{O}C)\). Adicionalmente, \(m(A\hat{O}B)-m(B\hat{O}C)=30°\). Si \(\overrightarrow{OM}\) es la bisectriz del ángulo \(A\hat{O}C\), hallar la medida del ángulo \(B\hat{O}M\).

Solución: Solución ejercicio 11 | Ángulos | Geometría Euclidiana

12. (Dificultad: 4/10) Se tienen los ángulos consecutivos \(A\hat{O}B\), \(B\hat{O}C\) y \(C\hat{O}D\), tal que \(m(A\hat{O}C)=m(B\hat{O}D)=90°\). Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos \(A\hat{O}B\) y \(C\hat{O}D\).

Solución: Ejercicio resuelto 12 | Ángulos | Geometría Euclidiana

13. (Dificultad: 3/10) Se tiene la recta \(\overleftrightarrow{PQ}\) y un punto \(O\) sobre ella, tal que \(P-O-Q\). Se trazan las semirectas \(\overrightarrow{OA}\) y \(\overrightarrow{OB}\) sobre un mismo semiplano con respecto a \(\overleftrightarrow{PQ}\) tales que \(\overrightarrow{OA}\) sea interior al ángulo \(P\hat{O}B\). Hallar la medida del ángulo \(A\hat{O}B\) si la medida del ángulo \(A\hat{O}P\) es 54° y el ángulo \(Q\hat{O}B\) es el suplemento del triple del ángulo \(B\hat{O}A\). Resp: 27°.