Sean los ángulos \(A\hat{O}B\) y \(B\hat{O}C\) adyacentes, tales que \(m(A\hat{O}B)-m(B\hat{O}C)=40^\circ\). Si \(\overrightarrow{OX}\), \(\overrightarrow{OY}\) y \(\overrightarrow{OZ}\) son las bisectrices de \(A\hat{O}B\), \(B\hat{O}C\) y \(X\hat{O}Y\), respectivamente, hallar la medida del ángulo que forma \(\overrightarrow{OZ}\) con \(\overrightarrow{OB}\).

Ejercicio 08 | Ángulos | Geometría Euclidiana.pdf

Hipótesis:

\(A\hat{O}B\) y \(B\hat{O}C\) adyacentes.

\(m(A\hat{O}B)-m(B\hat{O}C)=40^\circ\).

\(\overrightarrow{OX}\), \(\overrightarrow{OY}\), \(\overrightarrow{OZ}\), bisectrices de \(A\hat{O}B\), \(B\hat{O}C\) y \(X\hat{O}Y\), respectivamente.

Tesis:

\(m(B\hat{O}Z)=\alpha\).

 Proposición - Razón

1. Hipótesis. Por hipótesis.

2a. \(m(A\hat{O}X)=m(B\hat{O}X)=\theta\) Por definición de bisectriz. Por H. \(\overrightarrow{OX}\), \(\overrightarrow{OY}\), \(\overrightarrow{OZ}\).

2b. \(m(B\hat{O}Y)=m(C\hat{O}Y)=\omega\)

2c. \(m(X\hat{O}Z)=m(Y\hat{O}Z)=\rho\)

3a. \(\rho=\alpha+\omega\) Suma y diferencia de ángulos adyacentes.

3b. \(\rho=\theta-\alpha\)

4. \(\alpha+\omega=\theta-\alpha\) Prop. de los reales. De 3a y 3b.

5. \(2\alpha=\theta-\omega\) De 4. Prop. de los reales.

6. \(m(A\hat{O}B)-m(B\hat{O}C)=40^\circ\) Por hipótesis.

7. \(m(A\hat{O}B)=m(A\hat{O}X)+m(B\hat{O}X)\) Suma de ángulos adyacentes.

8. \(m(B\hat{O}C)=m(B\hat{O}Y)+m(C\hat{O}Y)\) Razón de 7.

9. \(m(A\hat{O}B)=\theta+\theta=2\theta\) Sustitución de 2a en 7. Prop. reales.

10. \(m(B\hat{O}C)=\omega+\omega=2\omega\) Sustitución de 2b en 8. Prop. reales.

11. \(2\theta-2\omega=40^\circ\) Sustitución de 9 y 10 en 6.

12. \(\theta-\omega=20^\circ\) De 11. Prop. de los reales.

13. \(2\alpha=20^\circ\) Sustituci\'on de 12 en 5. Prop. reales.

14. \(\alpha=10^\circ=m(B\hat{O}Z)\) De 13. Prop. de los reales.