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Arreglos atómicos

Antes de realizar los ejercicios es conveniente observar el siguiente video:

Ejercicio con respuesta 1

En el acero inoxidable 20Cb-3, que cristaliza en una celda FCC, los átomos de carbono (radio atómico 0.071 nm) se disuelven entre intersticios de los átomos de hierro (radio atómico 0.124 nm), ocupando en la celda cristalina las posiciones (1/2 0 0) y (1/2 1/2 1/2). Con esta información calcule:

a) La densidad en el plano (0 1 0) incluyendo los átomos de hierro y de carbono.

b) La densidad en el plano (0 1 1) incluyendo los átomos de hierro y de carbono.

En ambos casos exprese la densidad en átomos/cm2.

Respuestas: a) 2.67e15 átomos/cm2. b) 2.00e15 átomos/cm2.

Ejercicio con respuesta 2

En el titanio, que a temperatura ambiente cristaliza en la estructura BCC, la densidad del plano (1 0 1) es 12.23e12 átomos/mm2. Suponiendo que sus átomos puedan representarse como esferas rígidas, calcule:

a) El parámetro de red de la celda cristalina del titanio y su radio atómico, ambos expresados en nm.

b) La densidad superficial (2 0 1) expresada en átomos/nm2.

c) El diámetro, expresando en Angstrom, que debería tener otro elemento químico para acomodarse en un intersticio del Ti sin causar distorsión de su celda cristalina.

Respuestas: a) 0.34 nm y 0.147 nm. b) 3.85 átomos Ti/nm2. c) 0.66 Angstrom.

Ejercicio con respuesta 3

A temperatura ambiente el hierro, cuyo parámetro de red es 2.866 Angstrom, posee una densidad y un peso atómico de 7874 kg/m3 y 55.847 g/mol, respectivamente. En el cromo, que a temperatura ambiente cristaliza en el mismo sistema del hierro, la densidad atómica del plano (0 2 0) es 11.97e12 átomos/mm2. Con estos datos calcule:

a) El sistema cúbico en el cual cristaliza el cromo.

b) El parámetro de red de la celda cristalina del cromo y el radio de un átomo de cromo (en nm).

c) La fracción de empaquetamiento (FEA) en el plano atómico (1 1 0) para el cromo.

Respuestas: a) 2 átomos de Cr. Es BCC. b) 0.289 nm y 0.129 nm. c) 0.89.

Otros ejercicios

Leer y entender los ejercicios 3-68, 3-69, 3-71 y 3-72 sobre los temas de densidades y FEAs lineales, planares y volumétricos, y los ejercicios 3-79 y 3-86 sobre el tema de sitios intersticiales. Estos ejercicios se hallan en el solucionario de la 4a edición del texto Ciencia e Ing. de los Materiales de Askeland y Phulé.

Ejercicio resuelto 1

El aluminio, que posee un peso molecular de 26.98 g/mol y una densidad de 2698.4 kg/m3, cristaliza en una estructura cúbica cuyo parámetro de red es 4.049 Angstrom. El Níquel, que cristaliza en el mismo sistema, tiene un peso molecular de 58.71 g/mol y un radio atómico de 1.24 Angstrom. Calcule:

a) El sistema cúbico en el que cristalizan ambos metales.

\[ \rho_{teórica} = \frac{No. átomos/celda \times PM}{Vol_{celda} \times Av} \]
\[ No. átomos/celda = \frac{2698.4 kg/m^3 \times 6.638e-29 m^3 \times 6.022e23 átomos/mol}{26.98 g/mol \times (1 kg/1000 g)}\]
\[ No. átomos/celda = 3.998 átomos\]

Ambos metales cristalizan en el sistema CCCa o FCC por tener cuatro átomos dentro de la celda.

b) La densidad del Níquel en unidades de kg/m3.

\[ \rho_{Ni} = \frac{4 átomos \times 58.71 g/mol}{4.31e-29 m^3 \times 6.022e23 átomos/mol}\]
\[ \rho_{Ni} = 9048,03 kg/m^3\]

El volumen de la celda es:

\[ Vol_{celda} = a_0^3 = \left( \frac{4r}{\sqrt{2}} \right)^3 = \left(3.51e-10 m\right)^3 = 4.31e-29 m^3\]

c) La densidad atómica del Níquel en el plano (2 0 2) en unidades de átomos/nm2.

\[ \rho_{Ni(2 0 2)} = \frac{\text{No. átomos en el plano}}{\text{Área del plano}} = \frac{1 átomo}{(0.351 nm)^2 \times (\sqrt{2}/2)} \]
\[ \rho_{Ni(2 0 2)} = 11.48 átomos/nm^2\]

Esto debido a que el área del plano es,

\[ Área = lado 1 \times lado 2 = a_0 \times a_0\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Ejercicio resuelto 2

Determine el Factor de Empaquetamiento Atómico (FEA volumétrico) para la estructura Cúbica Centrada en el Cuerpo (BCC).

\[ FEA_{BCC} = \frac{\text{Vol. total átomos en celda}}{Vol_{celda}}\]
\[ FEA_{BCC} = \frac{2 átomos \times (4/3) \pi r^3}{a_0^3}\]

Dado que la estructura es BCC

\[ a_0 = \frac{4r}{\sqrt{3}}\]

Al cancelar radios al cubo obtenemos,

\[ FEA_{BCC} = 0.68\]

Ejercicio resuelto 3 (argumentación).

a) Asigne el enlace predominante a cada familia de materiales (metales, cerámicos y polímeros). ¿Cuál de estos materiales posee uno de estos tipos de enlace atómico más enlaces de Van de Waals entre sus moléculas?

Metales poseen enlace metálico, cerámicos poseen enlaces covalentes o íonicos, o una combinación de ambos tipos de enlace, mientras que los polímeros termoplásticos poseen enlaces covalentes entre monómeros (en las cadenas) y de Van der Waals entre cadenas. Los polímeros termofijos tienen también enlaces atómicos más fuertes entre cadenas que los hacen más resistentes y frágiles.

b) Los polímeros y cerámicos poseen el mismo enlace atómico, que es más fuerte que el existente en los metales. Explique brevemente: ¿por qué los cerámicos poseen mayor resistencia mecánica y térmica (requieren mayor energía para romperse o fundirse) que los metales, pero con los polímeros pasa lo contrario?

Se refiere al enlace covalente, presente tanto en cerámicos como en polímeros. Los cerámicos poseen mayor resistencia mecánica y térmica que los metales debido a que el enlace metálico no es tan fuerte como el covalente. Con los polímeros pasa lo contrario debido a la presencia de enlaces de Van der Waals, que son considerados enlaces débiles y con menor energía de unión que los enlaces metálicos.

Ejercicio resuelto 4

El cobre, que cristaliza en el sistema Cúbico Centrado en las Caras (FCC) posee una densidad de 8.96 g/cm3 y un peso atómico de 63.54 g/mol. Suponiendo que sus átomos pueden representarse por esfueras duras, calcule:

a) El parámetro de red de la celda unitaria y el diámetro de un átomo de cobre en nanómetros.

\[ Vol_{celda} = a_0^3 = \frac{\text{No. átomos por celda} \times \text{Peso molecular}}{\rho_{Cu} \times \text{No. Avogadro}} \]

\[ a_0 = 0.3611 nm \]

\[ D = 2r = 2 \frac{a_0 \sqrt{2}}{4} = 0.2553 nm \]

b) La fracción de volumen ocupada por los intersticios en el interior de una celda unitaria de cobre, la cual se puede expresar en función del Factor de Empaquetamiento Atómico y que definiremos como:

\[ FEA_{intersticios} = 1 - FEA_{Cobre} \]

Ec. 1

\[ FEA_{intersticios} = 1 - \frac{\text{Vol. total de átomos}}{\text{Vol. de celda}} \]

\[ FEA_{intersticios} = 1 - \frac{4~átomos \times (4/3)\pi r^3}{a_0^3} = 1 - 0.74 = 0.26 \]

c) La densidad atómica del Cobre en el plano (1 2 0) en unidades de átomos/nm2 y su respectiva fracción de empaquetamiento superficial.

Tenemos en cuenta sólo átomos cuyo núcleo (centro de la esfera) esté contenido sobre el plano.

\[ \rho_{planar} = \frac{\text{No. total de átomos sobre el plano}}{\text{Vol. de celda}} \]

\[ \rho_{planar} = \frac{1~átomo}{a_0^2 (\sqrt{5}/2)} \]

Para hallar el área del plano multiplicamos un lado (el parámetro de red) por otro lado del plano (usamos teorema de pitágoras),

\[ Area = a_0 \times a_0 \frac{\sqrt{5}}{2} \]

Finalmente,

\[ \rho_{planar} = 6.86~átomos/nm^2 \]

Para hallar el FEA planar dividimos el área del átomo contenido en el plano (para este caso nos dio igual a 1 átomo) sobre el área del plano,

\[ FEA_{(1 2 0)} = \frac{1~átomo \times \pi r^2}{a_0^2 (\sqrt{5}/2)} = 0.35 \]

Ejercicio resuelto 5

Calcule la fracción volumétrica de los intersticios dentro de una celda unitaria para el sistema Cúbico Centrado en el Cuerpo (BCC). Aplique la definición dada en la Ec. 1.

Al calcular la fracción de volúmenes que es el FEA volumétrico podemos comprobar que es independiente del radio del átomo o, que es equivalente, independiente del parámetro de red, ya que se dividen radios al cubo o parámetros de red al cubo que se cancelan. Usaremos el resultado del Ejercicio resuelto 3 para una celda BCC.

\[ FEA_{intersticios} = 1 - FEA_{BCC} \]

\[ FEA_{intersticios} = 1 - 0.68 = 0.32 \]

Esto indica que un 32% del volumen de la celda BCC está ocupado por espacio vacío (sin átomos). Este es el llamado volumen intersticial que se pedía calcular.

Ejercicio resuelto 6 (argumentación)

a) Describa brevemente la utilidad de los modelos presentados por las leyes de Fick. Señale una diferencia entre los modelos presentados por la 1a y 2a ley de Fick.

Las dos leyes de Fick son útiles para estimar flujos o cambios de concentración de átomos dentro de un material. Una diferencia entre los modelos es que, precisamente, uno es para estimar un flujo de átomos (1a ley de Fick) y el otro para estimar cambios en la concentración. Ambos modelos están en función del Coeficiente de Difusión D y del gradiente de concentración dc/dx.

b) ¿Qué efectos producen sobre las propiedades de un metal los cambios en el tamaño de grano?

A tamaño de grano pequeño las propiedades mecánicas se incrementan (dureza, resistencia a la tracción) debido a que los límites de grano más abundantes reducen el crecimiento de dislocaciones. La conductividad térmica y eléctrica disminuyen por el aumento de límites de grano (es decir, el material aumenta sus resistencias al flujo de calor y de electrones). A tamaño de grano grande se producen los efectos contrarios.

Ejercicio resuelto 7 (argumentación)

Realice un análisis, teniendo en cuenta los enlaces metálico, iónico y covalente, en donde relacione cada tipo de enlace con mínimo tres propiedades o características que se atribuyen a los materiales cuyos átomos se enlazan mediante dichos mecanismos. Si desea, complemente usando ejemplos.

Respuesta: los materiales cuyos átomos están unidos mediante enlaces metálicos poseen, en general, buena conductividad eléctrica y térmica, buena ductilidad y baja resistencia a la corrosión. La buena conductividad eléctrica se relaciona con el movimiento libre de los electrones de valencia que conforman el mar de electrones que rodea a los átomos. La buena ductilidad se asocia con la no direccionalidad de los enlaces metálicos, mientras que la baja resistencia a la corrosión con el carácter electropositivo de los metales.

Los materiales cuyos átomos están unidos mediante enlaces iónicos poseen, en general, alta resistencia mecánica y dureza, alto punto de fusión, son frágiles y se emplean como materiales aislantes de calor. Sus propiedades se derivan de tener los niveles de energía externos llenos y enlazar dos átomos con cargas opuestas. Mientras mayor es la diferencia de electronegatividades, mayor es la fuerza del enlace. Comparten características similares con los materiales que poseen enlaces covalentes. La sal de mesa o Cloruro de Sodio (NaCl) es un ejemplo de material con enlace iónico.

Los materiales cuyos átomos están unidos mediante enlaces covalentes poseen, en general, alta resistencia mecánica y dureza, alto punto de fusión y bajas ductilidad y conductividad eléctrica. La alta resistencia mecánica, la dureza y el alto punto de fusión se relacionan con la fortaleza del enlace covalente, mientras que la baja ductilidad se debe a la relación direccional de los enlaces covalentes (forman ángulos específicos, que dependen del material), la cual no está presente en el enlace metálico. La baja conductividad eléctrica se relaciona con que los átomos poseen los orbitales externos llenos, lo cual implica que no existen electrones libres, hecho que dificulta el transporte de electrones si se aplicase una diferencia de potencial a un material con este tipo de enlace. El silicio, el diamante y muchos cerámicos son ejemplos de materiales que se enlazan de manera covalente.