Un tapón cilíndrico roscado para tuberías conductoras de agua se fabricó mediante dos etapas consecutivas de conformación plástica (trabajo en frío). En la primera etapa se aplicó 40% de trabajo en frío para forjar un cilindro en el que tanto su espesor como su radio exterior miden 12 mm. En la segunda etapa sobre este cilindro se imprimió una cavidad hexagonal (centrada) de lado 6 mm con una profundidad "H", que sirve para apretar o aflojar el tapón con una llave. Con la información especificada en el texto previo y en la Figura 1, se le solicita que calcule:

1. La medida del espesor inicial del material previo a las etapas de forja.

2. La profundidad "H" de la cavidad, sabiendo que el espesor del material debajo de ella alcanzó una resistencia a la tensión de 80 ksi.

3. Si el material no fue recocido antes, cuánta fuerza (expresada en lbf) se aplicó en la segunda etapa de forja para imprimir la cavidad hexagonal. Considere que el área hexagonal está conformada por seis triángulos equiláteros.

Desarrollo.

1. Nos dicen que en la primera etapa se aplicó un 40% de trabajo en frío. Por este motivo puedo usar ese 40%TF para despejar un espesor inicial, teniendo como espesor final 12 mm, luego:

$$40\%TF=\frac{e_0- 12mm}{e_0} \times 100\%$$

Despejando tenemos:

$$e_0=20 mm$$

2. Nos piden la profundidad "H" de la cavidad. Para hallarla vamos a determinar el % de trabajo en frío para los 80 ksi. Luego usamos el espesor inicial de 20 mm (esto es clave, recordar que siempre tomamos como referencia el estado inicial a 0%TF) y despejamos el espesor final, para luego hallar H. Para \(\sigma_U=80 ksi\) tengo que el trabajo en frío es 70%, luego:

$$70\%TF = \frac{20 mm - e_f}{20 mm} \times 100%}$$

Despejo:

$$e_f=6 mm$$

Como el espesor que tiene el tapón luego de la primera etapa es de 12 mm, entonces \(12 mm = H + e_f\), luego:

$$H=12 mm - 6 mm = 6 mm$$

3. Si el material hubiera sido recocido antes de aplicar la segunda etapa de forja para realizar la cavidad hexagonal tendríamos que haber partido de unas propiedades a 0%TF. Como no es el caso, debemos considerar que el material, luego de la primera etapa, tiene unas propiedades al 40%TF que son:

$$\sigma_Y(40\%TF)=60~ksi$$

Para hallar la fuerza requerida para realizar la cavidad aplicamos la definición de esfuerzo y despejamos la carga o fuerza aplicada, asi:

$$\sigma_Y=\frac{P}{A_0}$$

Despejamos P:

$$P=\sigma_Y \times A_0$$

Como tenemos el esfuerzo o resistencia a fluencia sólo nos falta el área hexagonal. El problema en el punto 3 nos sugiere que la calculemos como la suma de seis áreas de triángulos equiláteros (usamos pitágoras para calcular un cateto que es una altura). El área de un triángulo cualquiera puede hallarse como su base por su altura dividido por dos. Esta área hexagonal resulta:

$$A=0.145~in^2$$

Busco una fuerza para plastificar el material, luego la fuerza es una fuerza mínima:

$$F_{min,Y}=60000~\frac{lbf}{in^2} \times 0.145~in^2 = 8705~lbf$$