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21. Encontrar los ángulos de un cuadrilátero inscriptible ABCD, si AC forma con los lados AB y AD ángulos de 45° y con BD un ángulo de 70° (tome el ángulo BOC=70°, con O punto de intersección entre AC y BD).

DESARROLLO

HIPÓTESIS

1. Circunferencia centro en P y radio r: C(P,r).

2. ABCD cuadrilátero inscriptible (los vértices pertenecen a la circunferencia).

3. \( m(B\hat{A}C) = \alpha = 45° \).

4. \( m(C\hat{A}D) = \alpha ' = 45° \).

5. \( m(B\hat{O}C) = \beta = 70° \).

TESIS

\( m(B\hat{A}D) = ? \).

\( m(A\hat{D}C) = ? \).

\( m(D\hat{C}B) = ? \).

\( m(C\hat{B}A) = ? \).

PROPOSICIÓN RAZÓN
6. $$ \theta'=45° $$ Corolario del Teorema del Ángulo Inscrito. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco (BC) son congruentes.
7. $$ \delta=45° $$ Corolario del Teorema del Ángulo Inscrito. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco (DC) son congruentes.
8. $$ m(\overset{\frown}{BC})=90° $$ Por el Teorema del ángulo inscrito. De 3.
9. $$ m(\overset{\frown}{DC})=90° $$ Por el Teorema del ángulo inscrito. De 4.
10. $$ \beta=\beta'=70° $$ Por Teorema de ángulos opuestos por el vértice y 5.
11. $$ m(\overset{\frown}{AD})=50° $$ Por Teorema del ángulo interior aplicado a \(\beta\) usando 8.
12. $$ \omega=25° $$ Por Teorema del ángulo inscrito usando valor del arco AD. De 11.
13. $$ \delta'=25° $$ Por Teorema del ángulo inscrito usando valor del arco AD. De 11.
14. $$ \mu=180°-\beta=110° $$ Por axioma de medida de ángulos usando valor de \(\beta\). De 10.
15. $$\overset{\frown}{AB}=360°-\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{DC}-\overset{\frown}{BC} = 130° $$ Por axioma de medida de arcos y diferencia de arcos usando 8, 9, 11 y propiedades de los reales.
16. $$ \theta=\omega'=65° $$ Por Teorema de ángulo inscrito usando valor del arco AB. De 15.
17. $$ m(B\hat{A}D) = \alpha+\alpha' = 90° $$ Por suma de ángulos adyacentes. Suma de 3 y 4.
18. $$ m(A\hat{D}C) = \theta+\theta' = 110° $$ Por suma de ángulos adyacentes. Suma de 6 y 16.
19. $$ m(D\hat{C}B) = \omega+\omega' = 90° $$ Por suma de ángulos adyacentes. Suma de 12 y 16.
20. $$ m(C\hat{B}A) = \delta+\delta' = 70° $$ Por suma de ángulos adyacentes. Suma de 7 y 13.