Dos circunferencias C(O,r) y C(O',r') son secantes en C y D, de tal manera que cada una de ellas pasa por el centro de la otra. Por C se traza una cuerda que encuentra a la circunferencia C(O',r') en M, y a la circunferencia C(O,r) en N. Demostrar que el tríangulo △△MDN es equilátero.
Hipótesis
C(O,r)∩C(O′,r′)=C,DC(O,r)∩C(O′,r′)=C,D
O∈C(O′,r′)O∈C(O′,r′)
O′∈C(O,r)O′∈C(O,r)
C−N−MC−N−M
M∈C(O′,r′)M∈C(O′,r′)
N∈C(O,r)N∈C(O,r)
Tesis
△MDN△MDN equilátero.
Proposición | Razón | |
1. | Hipótesis. | Por hipótesis. |
2. | Trazo ¯OC¯¯¯¯¯¯¯¯OC, ¯ON¯¯¯¯¯¯¯¯¯ON, ¯OD¯¯¯¯¯¯¯¯¯OD, ¯CD¯¯¯¯¯¯¯¯¯CD. | Construcción auxiliar. |
3. | m(CˆON)=2ρ=m(⌢CN)m(C^ON)=2ρ=m(⌢CN) a) | Propiedad de los reales y definición de la medida de un arco. |
m(NˆOD)=2α=m(⌢ND)m(N^OD)=2α=m(⌢ND) b) | ||
4. | m(NˆCD)=αm(N^CD)=α a) | Teorema de ángulo inscrito en una circunferencia. |
m(NˆDC)=ρm(N^DC)=ρ b) | ||
5. | m(⌢DM)=2αm(⌢DM)=2α | Teorema de ángulo inscrito en una circunferencia. De 4a. |
6. | m(⌢ND)=m(⌢DM)m(⌢ND)=m(⌢DM) | Transitividad entre 3b y 5. |
7. | ¯DM≅¯DN¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯DM≅¯¯¯¯¯¯¯¯¯DN | De 6. Son arcos congruentes (de circunferencias congruentes, ya que tienen el mismo radio ¯OO′¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯OO′ ). |
8. | Triángulo △MDN△MDN isósceles. | De 7. Por definición de triángulo isósceles. |
9. | m(DˆNM)=m(DˆMN)m(D^NM)=m(D^MN) | Propiedad de triángulo isósceles. De 8. |
10. | ⌢COD=⌢CND⌢COD=⌢CND (arcos). | Porque circunferencia C(O,r) es congruente con C(O',r') (tienen el mismo radio) y la cuerda ¯CD¯¯¯¯¯¯¯¯¯CD es común a ambas circunferencias. Finalmente, porque en dos circunferencias congruentes, o en una misma circunferencia, cuerdas congruentes subtienden arcos congruentes. |
11. | m(⌢CND)=2ρ+2α=m(CˆON)+m(NˆOD)m(⌢CND)=2ρ+2α=m(C^ON)+m(N^OD) | Por suma de ángulos adyacentes y por la definición de la medida de un arco (la medida de un arco es igual a la medida del ángulo central que subtiende). |
12. | m(⌢COD)=2ρ+2αm(⌢COD)=2ρ+2α | Transitividad entre 10 y 11. |
13. | m(DˆMC)=(2ρ+2α)/2=ρ+α=m(DˆMN)m(D^MC)=(2ρ+2α)/2=ρ+α=m(D^MN) | Teorema de ángulo inscrito en una circunferencia. |
14. | m(DˆNM)=ρ+αm(D^NM)=ρ+α | Transitividad entre 9 y 13. Este es el otro ángulo de la base del triángulo isósceles (tienen la misma medida). |
15. | m(⌢CMD)=4ρ+4αm(⌢CMD)=4ρ+4α | Teorema de ángulo inscrito en una circunferencia. La medida del arco es el doble de la medida del ángulo inscrito. El ángulo inscrito es el ángulo CˆODC^OD. |
16. | m(⌢CM)=m(⌢CMD)−m(⌢DM)=4ρ+2α | Diferencia de arcos. Sustitución de 5 y 15 en el mismo paso 16 y propiedad de los reales. |
17. | m(CˆDM)=2ρ+α | Teorema de ángulo inscrito en una circunferencia. De 16. |
18. | m(NˆDM)=m(CˆDM)−m(CˆDN)=2ρ+α−ρ=ρ+α | Diferencia de ángulos. De 4b y 17, y por propiedad de los reales. |
19. | △MDN es equilátero. | Teorema: todo triángulo equilátero es equiángulo, y recíprocamente, ya que el triángulo △MDN posee los tres ángulos interiores congruentes, mostrado en los pasos 13, 14 y 18. |
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