Dos circunferencias C(O,r) y C(O',r') son secantes en C y D, de tal manera que cada una de ellas pasa por el centro de la otra. Por C se traza una cuerda que encuentra a la circunferencia C(O',r') en M, y a la circunferencia C(O,r) en N. Demostrar que el tríangulo MDN es equilátero.

Hipótesis

C(O,r)C(O,r)=C,DC(O,r)C(O,r)=C,D

OC(O,r)OC(O,r)

OC(O,r)OC(O,r)

CNMCNM

MC(O,r)MC(O,r)

NC(O,r)NC(O,r)

Tesis

MDNMDN equilátero.

Ejercicio circunferencia triángulo equilátero

  Proposición Razón
1. Hipótesis. Por hipótesis.
2. Trazo ¯OC¯¯¯¯¯¯¯¯OC¯ON¯¯¯¯¯¯¯¯¯ON¯OD¯¯¯¯¯¯¯¯¯OD¯CD¯¯¯¯¯¯¯¯¯CD. Construcción auxiliar. 
3. m(CˆON)=2ρ=m(CN)m(C^ON)=2ρ=m(CN)   a) Propiedad de los reales y definición de la medida de un arco.
  m(NˆOD)=2α=m(ND)m(N^OD)=2α=m(ND)   b)  
4. m(NˆCD)=αm(N^CD)=α    a) Teorema de ángulo inscrito en una circunferencia.
  m(NˆDC)=ρm(N^DC)=ρ   b)  
5. m(DM)=2αm(DM)=2α Teorema de ángulo inscrito en una circunferencia. De 4a.
6. m(ND)=m(DM)m(ND)=m(DM) Transitividad entre 3b y 5.
7. ¯DM¯DN¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯DM¯¯¯¯¯¯¯¯¯DN De 6. Son arcos congruentes (de circunferencias congruentes, ya que tienen el mismo radio ¯OO¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯OO ).
8. Triángulo MDNMDN isósceles. De 7. Por definición de triángulo isósceles.
9. m(DˆNM)=m(DˆMN)m(D^NM)=m(D^MN) Propiedad de triángulo isósceles. De 8.
10. COD=CNDCOD=CND (arcos). Porque circunferencia C(O,r) es congruente con C(O',r') (tienen el mismo radio) y la cuerda ¯CD¯¯¯¯¯¯¯¯¯CD es común a ambas circunferencias. Finalmente, porque en dos circunferencias congruentes, o en una misma circunferencia, cuerdas congruentes subtienden arcos congruentes.
11. m(CND)=2ρ+2α=m(CˆON)+m(NˆOD)m(CND)=2ρ+2α=m(C^ON)+m(N^OD) Por suma de ángulos adyacentes y por la definición de la medida de un arco (la medida de un arco es igual a la medida del ángulo central que subtiende).
12. m(COD)=2ρ+2αm(COD)=2ρ+2α Transitividad entre 10 y 11.
13. m(DˆMC)=(2ρ+2α)/2=ρ+α=m(DˆMN)m(D^MC)=(2ρ+2α)/2=ρ+α=m(D^MN) Teorema de ángulo inscrito en una circunferencia.
14. m(DˆNM)=ρ+αm(D^NM)=ρ+α Transitividad entre 9 y 13. Este es el otro ángulo de la base del triángulo isósceles (tienen la misma medida).
15. m(CMD)=4ρ+4αm(CMD)=4ρ+4α Teorema de ángulo inscrito en una circunferencia. La medida del arco es el doble de la medida del ángulo inscrito. El ángulo inscrito es el ángulo CˆODC^OD.
16. m(CM)=m(CMD)m(DM)=4ρ+2α Diferencia de arcos. Sustitución de 5 y 15 en el mismo paso 16 y propiedad de los reales.
17. m(CˆDM)=2ρ+α Teorema de ángulo inscrito en una circunferencia. De 16.
18. m(NˆDM)=m(CˆDM)m(CˆDN)=2ρ+αρ=ρ+α Diferencia de ángulos. De 4b y 17, y por propiedad de los reales.
19. MDN es equilátero. Teorema: todo triángulo equilátero es equiángulo, y recíprocamente, ya que el triángulo MDN posee los tres ángulos interiores congruentes, mostrado en los pasos 13, 14 y 18.

 

Ejercicio circunferencia triángulo equilátero

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