Dos circunferencias C(O,r) y C(O',r') son secantes en C y D, de tal manera que cada una de ellas pasa por el centro de la otra. Por C se traza una cuerda que encuentra a la circunferencia C(O',r') en M, y a la circunferencia C(O,r) en N. Demostrar que el tríangulo \(\triangle\)MDN es equilátero.
Hipótesis
\(C(O,r) \cap C(O',r') = {C,D}\)
\(O \in C(O',r')\)
\(O' \in C(O,r)\)
\(C-N-M\)
\(M \in C(O',r')\)
\(N \in C(O,r)\)
Tesis
\(\triangle MDN\) equilátero.
| Proposición | Razón | |
| 1. | Hipótesis. | Por hipótesis. |
| 2. | Trazo \(\overline{OC}\), \(\overline{ON}\), \(\overline{OD}\), \(\overline{CD}\). | Construcción auxiliar. |
| 3. | \(m(C\hat{O}N)=2\rho=m(\overset{\frown}{CN})\) a) | Propiedad de los reales y definición de la medida de un arco. |
| \(m(N\hat{O}D)=2\alpha=m(\overset{\frown}{ND})\) b) | ||
| 4. | \(m(N\hat{C}D)=\alpha\) a) | Teorema de ángulo inscrito en una circunferencia. |
| \(m(N\hat{D}C)=\rho\) b) | ||
| 5. | \(m(\overset{\frown}{DM})=2\alpha\) | Teorema de ángulo inscrito en una circunferencia. De 4a. |
| 6. | \( m(\overset{\frown}{ND})=m(\overset{\frown}{DM}) \) | Transitividad entre 3b y 5. |
| 7. | \(\overline{DM} \cong \overline{DN}\) | De 6. Son arcos congruentes (de circunferencias congruentes, ya que tienen el mismo radio \( \overline{OO'} \) ). |
| 8. | Triángulo \(\triangle MDN\) isósceles. | De 7. Por definición de triángulo isósceles. |
| 9. | \( m(D\hat{N}M) = m(D\hat{M}N) \) | Propiedad de triángulo isósceles. De 8. |
| 10. | \( \overset{\frown}{COD} = \overset{\frown}{CND} \) (arcos). | Porque circunferencia C(O,r) es congruente con C(O',r') (tienen el mismo radio) y la cuerda \( \overline{CD}\) es común a ambas circunferencias. Finalmente, porque en dos circunferencias congruentes, o en una misma circunferencia, cuerdas congruentes subtienden arcos congruentes. |
| 11. | \( m(\overset{\frown}{CND})=2\rho + 2\alpha = m(C\hat{O}N)+m(N\hat{O}D) \) | Por suma de ángulos adyacentes y por la definición de la medida de un arco (la medida de un arco es igual a la medida del ángulo central que subtiende). |
| 12. | \( m(\overset{\frown}{COD}) =2\rho + 2\alpha \) | Transitividad entre 10 y 11. |
| 13. | \( m(D\hat{M}C)=(2\rho+2\alpha)/2=\rho+\alpha=m(D\hat{M}N) \) | Teorema de ángulo inscrito en una circunferencia. |
| 14. | \( m(D\hat{N}M)=\rho+\alpha \) | Transitividad entre 9 y 13. Este es el otro ángulo de la base del triángulo isósceles (tienen la misma medida). |
| 15. | \( m(\overset{\frown}{CMD}) = 4\rho+4\alpha \) | Teorema de ángulo inscrito en una circunferencia. La medida del arco es el doble de la medida del ángulo inscrito. El ángulo inscrito es el ángulo \( C\hat{O}D \). |
| 16. | \( m(\overset{\frown}{CM}) = m(\overset{\frown}{CMD}) - m(\overset{\frown}{DM}) = 4\rho+2\alpha \) | Diferencia de arcos. Sustitución de 5 y 15 en el mismo paso 16 y propiedad de los reales. |
| 17. | \( m(C\hat{D}M)=2\rho+\alpha \) | Teorema de ángulo inscrito en una circunferencia. De 16. |
| 18. | \( m(N\hat{D}M)=m(C\hat{D}M)-m(C\hat{D}N)=2\rho+\alpha-\rho=\rho+\alpha \) | Diferencia de ángulos. De 4b y 17, y por propiedad de los reales. |
| 19. | \( \triangle MDN \) es equilátero. | Teorema: todo triángulo equilátero es equiángulo, y recíprocamente, ya que el triángulo \(\triangle MDN\) posee los tres ángulos interiores congruentes, mostrado en los pasos 13, 14 y 18. |
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