Ejercicio resuelto 11 | Segmentos | Suma de fracciones

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11. Sean A-B-C, de tal modo que \(AB \cdot BC = x (AC)^2 \). Hallar:

$$ \frac{AB}{BC}+\frac{BC}{AB} $$

en términos de \(x\).

Hipótesis:

1. A-B-C.

2. \(AB \cdot BC = x (AC)^2 \)

Tesis:

$$ **~~~~~~ \frac{AB}{BC}+\frac{BC}{AB} = f(x)$$

Solución

  Proposición Razón
3. $$ \frac{AC^2}{AB \cdot BC}=\frac{1}{x} $$ De 2. Propiedad de los reales.
4. $$ AC=AB+BC $$ Por suma de segmentos adyacentes.
5. $$ \frac{(AB+BC)^2}{AB \cdot BC}=\frac{1}{x} $$ Sustitución de 4 en 3.
6. $$ \frac{AB^2+2AB.BC+BC^2}{AB \cdot BC}=\frac{1}{x} $$ De 5. Se desarrolla el cuadrado de la suma.
7. $$ \frac{AB^2}{AB.BC}+2\frac{AB.BC}{AB.BC}+\frac{BC^2}{AB.BC}=\frac{1}{x} $$ De 6.
8. $$ \frac{AB}{BC}+2+\frac{BC}{AB}=\frac{1}{x} $$ De 7.
9. $$ \frac{AB}{BC}+\frac{BC}{AB}=\frac{1}{x}-2 $$ De 8. TESIS.

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