En un triángulo \(\triangle ABC\) isósceles, con \(m(\hat{B})=m(\hat{C})=30^\circ\), se trazan las medianas \(\overline{AM}\), \(\overline{BN}\) y \(\overline{CF}\), que se cortan en \(I\). Demuestre que:

a) \(\triangle NIC \cong \triangle FIB\).
b) \(\overline{FN} \parallel \overline{BC}\).

Hipótesis:
\(\triangle ABC\) isósceles.
\(\overline{AM}\), \(\overline{BN}\), \(\overline{CF}\) medianas.
\(A-I-M\), \(B-I-N\) y \(C-I-F\).

Tesis:
\(\triangle NIC \cong \triangle FIB\).
\(\overline{NF} \parallel \overline{BC}\).

1. Hipótesis. Por hipótesis.

2. \(\overline{AM}\) mediana. Por H.

3. \(\overline{AM} \perp \overline{BC}\). Teorema: en todo triángulo isósceles la mediana, la altura, la mediatriz (con resp. a su base) y la bisectriz del ángulo opuesto coinciden y recíprocamente.

4. \(m(A\hat{M}B)=m(A\hat{M}C)=90^\circ\). Definición de segmentos perpendiculares.

5. \(MB=MC\). De 2. Por definición de mediana.

6. \(MI=MI\). Propiedad reflexiva. Lado común.

7. \(\triangle MIB \cong \triangle MIC\). Criterio LAL. De 5, 4 y 6.

8. \(IB=IC\). Lados homólogos. De 7.

9. \(m(I\hat{B}M)=m(I\hat{C}M)\). Ángulos homólogos. De 7.

10. \(m(F\hat{B}I)=m(\hat{B})-m(I\hat{B}M)\). Diferencia de ángulos adyacentes.

11. \(m(I\hat{C}N)=m(\hat{C})-m(I\hat{C}M)\) Razón de 10.

12. \(m(\hat{B})=m(\hat{C})\) Por H.

13. \(m(I\hat{C}N)=m(\hat{B})-m(I\hat{B}M)\) Sustitución de 12 y 9 en 11.

14. \(m(F\hat{B}I)=m(I\hat{C}N)\) Transitividad entre 10 y 13.

15. \(AB=AC\) Por definición de triángulo isósceles ABC. Por H. Base BC.

16. \(\overline{CF}\) y \(\overline{BN}\) medianas. Por H.

17. F y N puntos medios de A y C. Por definición de mediana. De 16.

18. \(FB=\frac{AB}{2}\) Definición de punto medio. De 17.

19. \(NC=\frac{AC}{2}\) Razón de 18.

20. \(NC=\frac{AB}{2}\) Sustit. de 15 en 19.

21. \(FB=NC\) Transitividad entre 18 y 20.

22. \(\triangle NIC \cong \triangle FIB\). Criterio LAL. De 8, 14 y 21.

23. \(\overline{NF} \parallel \overline{BC}\). Teorema de la base media de un triángulo. F y N puntos medios. De 17.