Sobre los lados iguales \(AB\) y \(AC\) de un triángulo isósceles \(\triangle ABC\) se toman longitudes iguales \(AE=AF\). Luego se unen los puntos \(E\) y \(F\) con el pie \(H\) de la altura. Demostrar que \(m(E \hat{H} A)=m(A \hat{H} F)\) y que \(m(E \hat{F} H)=m(F \hat{E} H)\).

Hipótesis: \(\triangle ABC\) isósceles, \(AE=AF\), \(\overline{HA}\) altura.
Tesis: \(m(E \hat{H} A)=m(A \hat{H} F)\), \(m(E \hat{F} H)=m(F \hat{E} H)\).

Proposición - Razón

1. \(AB=AC\). Por Hipótesis.

2. a) \(AB=AE+EB\) Por suma de segmentos.

b) \(AC=AF+FC\)

3. \(AE=AF\) Por Hipótesis.

4. \(AC=AE+FC\) Reemplazo 3 en 2b.

5. \(AE+EB=AE+FC\) Igualo 2a y 4.

6. \(EB=FC\) De 5. Por propiedad de igualdad en reales (aquí restamos \(AE\) a ambos lados de la igualdad).

7. \(C \hat{B} A \cong A \hat{B} C\) Por Hipótesis y propiedad de triángulo isósceles (en un triángulo isósceles, los ángulos de la base son congruentes).

8. \(HB=HC\) Por Hipótesis de triángulo isósceles y propiedad de isósceles (Teorema 2 de las propiedades del isósceles en documento guía: la altura coincide con la mediatriz).

9. \(\triangle HBE \cong \triangle HCF\) Por criterio de congruencia LAL, de 6, 7 y 8.

10. \(HE=HF\) Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes, de 9.

11. \(H \hat{E} B \cong H \hat{F} C\) Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes, de 9.

12. \(H \hat{E} A \cong H \hat{F} A\) Por ser ángulos suplementarios de ángulos congruentes (si dos ángulos son congruentes entonces sus suplementos tambi'en son congruentes. La suma de dos ángulos suplementarios es igual a 180 grados).

13. \(\triangle HEA \cong \triangle HFA\) Por criterio de congruencia LAL, de 3, 10 y 12.

14. \(E \hat{H} A \cong A \hat{H} F\) Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

15. \(m(E \hat{H} A) = m(A \hat{H} F)\) Por definición de congruencia.

16. Construyo el segmento de recta \(\overline{EF}\). \(\overline{AH}\) y \(\overline{EF}\) son secantes en \(O\). Construcción auxiliar.

17. \(\triangle EHF\) es isósceles. Por definición de triángulo isósceles, de 10 y 16 (tiene dos lados congruentes).

18. \(F \hat{E} H \cong E \hat{F} H\) Por Corolario 1 (en todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes).

19. \(m(E \hat{F} H)=m(O \hat{E} H)\) Por definición de congruencia de ángulos (dice que dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida), de 18.