En un triángulo △ABC isósceles de base ¯BC se toman D y E tales que AD=AE, con A-D-B y A-E-C. Se trazan ¯BE y ¯CD, que se cortan en R. Pruebe que ¯AR pasa por el punto medio N de ¯DE.
Hipótesis
△ABC isósceles de base ¯BC
A-D-B y A-E-C
AD=AE
¯BE∩¯CD=R
Tesis
A-N-R con N punto medio de ¯DE
| Proposición | Razón | |
| 1. | Hipótesis | Por hipótesis |
| 2. | AN=AN | Propiedad reflexiva |
| 3. | AE=AD | Por hipótesis |
| 4. | AR=AR | Propiedad reflexiva |
| 5. | AC=AB | Porque △ABC es isósceles de base ¯BC. Por definición de triángulo isósceles. |
| 6. | δ=δ′ | Teorema triángulo isósceles. Ángulos de la base son congruentes. |
| 7. | BD=AB-AD a) | Suma de segmentos adyacentes. |
| CE=AC-AE b) | ||
| 8. | CE=AB-AD | Sustitución de 5 y 3 en 7b. |
| 9. | BD=CE | Transitividad entre 7a y 8. |
| 10. | BC=BC | Propiedad reflexiva. |
| 11. | △BDC≅△CEB | Criterio LAL. De 9, 6 y 10. |
| 12. | ω=ω′ | Ángulos homólogos entre triángulos congruentes. De 11. |
| 13. | ρ=ρ′ | Ángulos homólogos entre triángulos congruentes. De 11. |
| 14. | α=δ−ρ | Suma de ángulos adyacentes. |
| 15. | α′=δ′−ρ′ | Suma de ángulos adyacentes. |
| 16. | α′=δ−ρ | Sustitución de 6 y 13 en 15. |
| 17. | α=α′ | Transitividad entre 14 y 16. |
| 18. | △REC≅△RDB | Criterio ALA. De 12, 9 y 17. |
| 19. | RE=RD | Lados homólogos entre triángulos congruentes. De 18. |
| 20. | μ=μ′ | Por ser ángulos suplementarios de dos ángulos congruentes. De 12. |
| 21. | △ARE≅△ARD | Criterio LAL. De 19, 20 y 3. |
| 22. | γ=γ′ | Ángulos homólogos entre triángulos congruentes. De 21. |
| 23. | ND=NE | Lados homólogos entre triángulos congruentes. De 22. |
| 24. | N es punto medio de ¯DE | Por definición de punto medio. De 23, con D-N-E. |
| 25. | A-N-R con N punto medio de ¯DE | De 24. L.q.q.d. |
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