Ejercicio resuelto 29 | Triángulos | Teorema 30-60-90

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Se tiene un triángulo \(\triangle ABC\) equilátero. Se trazan la altura \(\overline{CH}\), luego \(\overline{HD} \perp \overline{CB}\) y \(\overline{HE} \perp \overline{AC}\), con \(C-D-B\) y \(C-E-A\). Demostrar que \(CH=HD+HE\).

Hipótesis:
\(\triangle ABC\) equilátero.
\(\overline{CH}\) altura.
\(\overline{HD} \perp \overline{CB}\).
\(\overline{HE} \perp \overline{AC}\).
\(C-D-B\).
\(C-E-A\).

Tesis:
\(CH=HD+HE\).

 Ejercicio Geometría Teorema 30 60 90

Proposición - Razón

1. Hipótesis. Por hipótesis.

2. \(\overline{CA}\cong \overline{CB}\) Por definición de triángulo equilátero \(\triangle ABC\). Por H.

3. \(\triangle ABC\) isósceles con base \(\overline{AB}\) Definición de triángulo isósceles. De 2.

4. \(\overline{CH}\) altura. Por H.

5. \(\overline{CH}\) bisectriz. (0.3/1.7) Por teorema (En todo triángulo isósceles la mediana, la altura, la mediatriz (con respecto a su base) y la bisectriz del ángulo opuesto coinciden y rec\'iprocamente).

6. \(m(B\hat{C}H)=m(A\hat{C}H)\) De 5. Por definición de bisectriz.

7. \(m(\hat{A})+m(\hat{B})+m(\hat{C})=180^\circ\) Teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

8. \(m(\hat{A})=m(\hat{B})=m(\hat{C})\) Corolario de criterio LAL. Todo triángulo equilátero es equiángulo.

9. \(m(\hat{C})+m(\hat{C})+m(\hat{C})=180^\circ\) Sustitución de 8 en 7.

10. \(3 m(\hat{C})=180^\circ\) Prop. reales. De 9.

11. \(m(\hat{C})=60^\circ\) (0.3/1.7) Prop. reales. De 10.

12. \(m(\hat{C})=m(B\hat{C}H)+m(A\hat{C}H)\) Suma de ángulos adyacentes.

13. \(m(\hat{C})=m(B\hat{C}H)+m(B\hat{C}H)=m(A\hat{C}H)+m(A\hat{C}H)=2m(B\hat{C}H)=2m(A\hat{C}H)\) Sust. de 6 en 12. Prop. de los reales.

14. \(m(B\hat{C}H)=m(A\hat{C}H)=\frac{m(\hat{C})}{2}\) De 13. Prop. reales.

15. \(m(B\hat{C}H)=m(A\hat{C}H)=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ\) Sust. de 11 en 4. Prop. reales.

16. \(m(H\hat{E}C)=m(H\hat{D}C)=90^\circ\) Definición de perpendicularidad entre HD y CB, HE y AC. Por H.

17. \(\triangle CHD\) y \(\triangle CHE\) rectángulos en D y E, resp. Definición de triángulo rectángulo. De 16.

18a. \(HE=\frac{HC}{2}\) Teorema 30-60-90 en triángulos CHE y CHD. De 17.

18b. \(HD=\frac{HC}{2}\) Razón de 18a.

19. \(HE=HD=\frac{HC}{2}\) Transitividad entre 18a y 18b.

20. \(CH=2HE=2HD=HE+HE=HD+HD\) De 19. Prop. reales.

21. \(CH=HE+HD\) Sust. de 18 en 20. Prop. reales.

Ejercicio Geometría Teorema 30 60 90

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