8. En un triángulo rectángulo ABC de hipotenusa a y altura h, se inscribe un cuadrado que tiene un lado sobre la hipotenusa. Calcular el lado del cuadrado en función de a y h.
SOLUCIÓN
HIPÓTESIS
1. \( \triangle ABC \) rectángulo.
2. Hipotenusa \( BC=a \).
3. Altura \( AH=h \) del triángulo \( ABC \).
4. Cuadrado FGED de lado \( l \) inscrito en \(\triangle ABC\). Lado DE pertenece a la hipotenusa.
TESIS
\( l=f(a,h) \).
PROPOSICIÓN | RAZÓN | |
5. | $$ m(C\hat{A}B)=\theta=90° $$ | De 1. Por definición de triángulo ABC rectángulo. |
6. | $$ FG \parallel CB $$ | De 4. Lado DE pertenece a la hipotenusa CB, luego C-D-E-B son colineales. FG es paralelo con CB por propiedad del cuadrado. Sus lados opuestos son paralelos. |
7. | $$ \alpha = \alpha' $$ | De 6. Se tienen dos paralelas y una transversal que es la recta B-G-A. Con esto, se puede usar el Teorema de ángulos correspondientes congruentes que se forman entre dos paralelas y una transversal. |
8. | $$ \triangle FAG \sim \triangle ABC $$ | Por el criterio de Semejanza Ángulo-Ángulo (SAA). Los ángulos congruentes se tienen en los pasos 5 (común a ambos triángulos) y 7. |
9. | $$ AH \perp CB $$ | De 3. Por la definición de altura del triángulo ABC. |
10. | $$ AP \perp FG $$ | Por criterio de perpendicularidad, que dice: si tengo dos rectas paralelas, toda perpendicular a una de ellas, será también perpendicular a la otra. El paralelismo está dado en 6 y la perpendicularidad está dada en 9. |
11. | \( AP \) es una altura del triángulo FAG. | Por la definición de altura. De 10. |
12. | $$ \frac{FG}{CB}=\frac{AP}{AH} $$ | Por el teorema que dice: si dos triángulos son semejantes, entonces la razón entre dos elementos rectilíneos homólogos (alturas, medianas, bisectrices) es igual a la razón de semejanza entre los triángulos. Semejanza demostrada en 8. Elementos homólogos demostrados en 3 y 11. |
13. | $$ \frac{l}{a}=\frac{AP}{h} $$ | Por sustitución de 2, 3 y 4 en 12. |
14. | $$ l = \frac{a . AP}{h} $$ | De 13. Propiedad de las proporciones. |
15. | $$ GE \perp DE $$ | Por definición de cuadrado. De 4. |
16. | $$ PH \perp DE $$ | De 9. PH pertenece a AH y DE pertenece a CB. |
17. | $$ GE \parallel PH $$ | Por criterio de paralelismo que dice: dos rectas que son perpendiculares a una tercera, son paralelas. De 15 y 16. |
18. | Cuadrilátero HEGP es un paralelogramo. | Por la definición de paralelogramo: cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos paralelos. De 6 y 17. |
19. | $$ PH=GE $$ | Por propiedad de los paralelogramos. Lados opuestos congruentes. De 18. |
20. | $$ AP = AH - PH $$ | Diferencia de segmentos. |
21. | $$ AP = h - GE $$ | Sustitución de 3 y 19 en 20. |
22. | $$ AP = h - l $$ | Sustitución de 4 en 21. |
23. | $$ l = \frac{a . (h-l)}{h} $$ | Sustitución de 22 en 14. |
24. | $$ l = \frac{a.h}{h+a} $$ | De 23. Propiedad de los reales. |
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