11. Se tiene el triángulo ABC. Sean A-B-D, tales que AB=BD. Sean A-E-C tales que (AE/EC)=(3/2). Los segmentos DE y BC se cortan en F. Hallar BF/BC.

DESARROLLO

HIPÓTESIS

1. \( \triangle ABC \) cualquiera.

2. \(A-B-D\).

3. \(AB=BD\).

4. \(A-E-C\).

5. AE/EC=3/2.

6. \( \overline{DE} \cap \overline{BC} = {F} \).

TESIS

Hallar razón BF/BC.

PROPOSICIÓN RAZÓN
7. Trazo BL con A-L-E-C y \( \overline{BL} \parallel \overline{DE}  \parallel \overline{FE}\). Construcción auxiliar.
8. B es punto medio de AD. Por definición de punto medio de un segmento. De 3.
9. L es punto medio de segmento AE. Por el recíproco del Teorema de la base media de un triángulo (\(\triangle ADE\)), que dice: si trazo un segmento desde el punto medio del lado de un triángulo paralelo a otro lado del mismo triángulo, entonces el punto de intersección será punto medio de su respectivo lado. De 7 y 8.
10. $$ \frac{BF}{BC}=\frac{LE}{LC} $$ Por el Teorema Fundamental de Segmentos Proporcionales. Se tienen las paralelas FE y BL. De 7.
11. $$ LE = \frac{AE}{2} $$ De 9. Por definición de punto medio de un segmento.
12. $$ AE = \frac{3}{2} EC $$ De 5. Propiedad de las proporciones.
13. $$ LE = \frac{3}{4} EC $$ Sustitución de 12 en 11.
14. $$ LC = LE + EC $$ Suma de segmentos adyacentes.
15. $$ EC = \frac{4}{4} EC $$ Propiedad de los reales.
16. $$ LC = (3/4) EC + (4/4) EC$$ Sustitución de 13 y 15 en 14.
17. $$ LC = \frac{7}{4} EC $$ De 16. Propiedad de los reales.
18. $$ \frac{BF}{BC}=\frac{(3/4) EC}{(7/4) EC} $$ Sustitución de 13 y 17 en 10.
19. $$ \frac{BF}{BC}=\frac{3}{7} $$ De 18. Propiedad de los reales.

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