Ejercicio 11 | Geometría Euclidiana | Semejanza | Recíproco del teorema de la base media

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11. Se tiene el triángulo ABC. Sean A-B-D, tales que AB=BD. Sean A-E-C tales que (AE/EC)=(3/2). Los segmentos DE y BC se cortan en F. Hallar BF/BC.

DESARROLLO

HIPÓTESIS

1. △ABC cualquiera.

2. A−B−D.

3. AB=BD.

4. A−E−C.

5. AE/EC=3/2.

6. ¯DE∩¯BC=F.

TESIS

Hallar razón BF/BC.

PROPOSICIÓN RAZÓN
7. Trazo BL con A-L-E-C y ¯BL∥¯DE∥¯FE. Construcción auxiliar.
8. B es punto medio de AD. Por definición de punto medio de un segmento. De 3.
9. L es punto medio de segmento AE. Por el recíproco del Teorema de la base media de un triángulo (△ADE), que dice: si trazo un segmento desde el punto medio del lado de un triángulo paralelo a otro lado del mismo triángulo, entonces el punto de intersección será punto medio de su respectivo lado. De 7 y 8.
10. BFBC=LELC Por el Teorema Fundamental de Segmentos Proporcionales. Se tienen las paralelas FE y BL. De 7.
11. LE=AE2 De 9. Por definición de punto medio de un segmento.
12. AE=32EC De 5. Propiedad de las proporciones.
13. LE=34EC Sustitución de 12 en 11.
14. LC=LE+EC Suma de segmentos adyacentes.
15. EC=44EC Propiedad de los reales.
16. LC=(3/4)EC+(4/4)EC Sustitución de 13 y 15 en 14.
17. LC=74EC De 16. Propiedad de los reales.
18. BFBC=(3/4)EC(7/4)EC Sustitución de 13 y 17 en 10.
19. BFBC=37 De 18. Propiedad de los reales.

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