11. Se tiene el triángulo ABC. Sean A-B-D, tales que AB=BD. Sean A-E-C tales que (AE/EC)=(3/2). Los segmentos DE y BC se cortan en F. Hallar BF/BC.
DESARROLLO
HIPÓTESIS
1. \( \triangle ABC \) cualquiera.
2. \(A-B-D\).
3. \(AB=BD\).
4. \(A-E-C\).
5. AE/EC=3/2.
6. \( \overline{DE} \cap \overline{BC} = {F} \).
TESIS
Hallar razón BF/BC.
PROPOSICIÓN | RAZÓN | |
7. | Trazo BL con A-L-E-C y \( \overline{BL} \parallel \overline{DE} \parallel \overline{FE}\). | Construcción auxiliar. |
8. | B es punto medio de AD. | Por definición de punto medio de un segmento. De 3. |
9. | L es punto medio de segmento AE. | Por el recíproco del Teorema de la base media de un triángulo (\(\triangle ADE\)), que dice: si trazo un segmento desde el punto medio del lado de un triángulo paralelo a otro lado del mismo triángulo, entonces el punto de intersección será punto medio de su respectivo lado. De 7 y 8. |
10. | $$ \frac{BF}{BC}=\frac{LE}{LC} $$ | Por el Teorema Fundamental de Segmentos Proporcionales. Se tienen las paralelas FE y BL. De 7. |
11. | $$ LE = \frac{AE}{2} $$ | De 9. Por definición de punto medio de un segmento. |
12. | $$ AE = \frac{3}{2} EC $$ | De 5. Propiedad de las proporciones. |
13. | $$ LE = \frac{3}{4} EC $$ | Sustitución de 12 en 11. |
14. | $$ LC = LE + EC $$ | Suma de segmentos adyacentes. |
15. | $$ EC = \frac{4}{4} EC $$ | Propiedad de los reales. |
16. | $$ LC = (3/4) EC + (4/4) EC$$ | Sustitución de 13 y 15 en 14. |
17. | $$ LC = \frac{7}{4} EC $$ | De 16. Propiedad de los reales. |
18. | $$ \frac{BF}{BC}=\frac{(3/4) EC}{(7/4) EC} $$ | Sustitución de 13 y 17 en 10. |
19. | $$ \frac{BF}{BC}=\frac{3}{7} $$ | De 18. Propiedad de los reales. |
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