21. Se tiene el paralelogramo \(ABCD\), donde tres de sus vértices son los puntos \(A(-1,0,1), B(2,-2,0), D(0,1,-1)\).

a) Calcular el área del paralelogramo empleando sólo operaciones vectoriales y el cálculo de la proyección de un vector sobre otro.

b) Calcular las coordenadas del punto C del paralelogramo.

DESARROLLO

Punto a)

Primero, es importante tener en cuenta el orden de los vértices ABCD. Estos se disponen en forma horaria o antihoraria, pero nunca cruzados a lo largo de las diagonales. El área de un paralelogramo puede calcularse como el doble del área de un triángulo. Si trazamos las diagonales BD o AC del paralelogramo tendremos dos triángulos congruentes. Podríamos calcular el área de uno de ellos y multiplicarla por dos para obtener el área total del paralelogramo. En resumen, el área se puede calcular así:

$$ A_{p}=2 \times A_{t} = 2 \times \frac{ base(AD)*altura(PB) }{2} = \| \overrightarrow{AD} \| * \| \overrightarrow{PB} \| $$

Si tenemos en cuenta que la magnitud del vector PB se puede expresar como una diferencia entre los vectores AB y AP, entonces podemos escribir:

$$ A_p = \| \overrightarrow{AD} \| * \| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP} \| $$

Luego, el vector AP se puede escribir como la proyección del vector AB sobre el vector AD:

$$ \overrightarrow{AP}=Proy_{\overrightarrow{AD}} \overrightarrow{AB} $$

El área del paralelogramo se puede escribir finalmente como:

$$ A_p = \| \overrightarrow{AD} \| * \| \overrightarrow{AB} - Proy_{\overrightarrow{AD}} \overrightarrow{AB} \| $$

Calculemos cada término uno por uno. Primero, definamos al vector AB:

$$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A} = (3,-2,-1) $$

Luego, calculemos al vector AD y su magnitud:

$$ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} = (1,1,-2) $$

Es muy importante recordar que cuando escribimos \(\overrightarrow{D}\) nos referimos a un vector posición que tiene la cola en el origen y la cabeza en el punto D. Esta operación equivale a restar una a una las coordenadas de los puntos D y A.

$$ \| \overrightarrow{AD} \| = \sqrt{6} $$

Calculemos ahora al vector PB, el cual se puede escribir como la diferencia entre AB y AP:

$$ \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP} $$

Nos hace falta para ello el vector AP, para el cual necesitamos el cálculo de la proyección de AB sobre AD:

$$ \overrightarrow{AP}= Proy_{\overrightarrow{AD}} \overrightarrow{AB} = \left( \frac{\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}}{\| \overrightarrow{AD} \|^2} \right) \overrightarrow{AD} $$

$$ \overrightarrow{AP}=(1/2, 1/2, -1) $$

Ahora si podemos calcular el vector PB:

$$ \overrightarrow{PB}=(3,-2,-1)-(1/2, 1/2, -1) = (5/2, -5/2, 0) $$

La magnitud del vector PB resulta:

$$ \| \overrightarrow{PB}=\frac{5 \sqrt{2}}{2} $$

Finalmente, el área del paralelogramo se calcula como:

$$ A_p=\| \overrightarrow{AD} \| * \| \overrightarrow{PB} \| = \sqrt{6} * \frac{5 \sqrt{2}}{2} $$

$$ A_p=5 \sqrt{3} $$

Punto b)

Para calcular las coordenadas del punto C se puede tener en cuenta que un paralelogramo tiene, por definición, los lados opuestos paralelos y congruentes. Esto implica que los vectores AB y DC son iguales (es decir, son el mismo vector). Por esa razón, se puede escribir:

$$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{D}=(3,-2,-1) $$

El ejercicio nos proporciona las coordenadas del punto D, por lo cual, automáticamente, tenemos las componentes del vector posición D. Por ello, se puede operar con la expresión anterior y despejar al vector C, para escribir:

$$ \overrightarrow{C}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D}=(3,-2,-1)+(0,1,-1) $$

$$ \overrightarrow{C}=(3,-1,-2) $$

El vector posición \( \overrightarrow{C} \) tiene al punto C como cabeza, cuyas coordenadas son sus mismas componentes. Por ello, las coordenadas del punto C son:

$$ C(3,-1,-2) $$