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1. Considere los siguientes puntos del plano con coordenadas:

$$P_1(2,1),~Q_1(3,3),~P_2(4,-2),~Q_2(2,-3),~P_3(-3,-1),~Q_3(0,-2)$$

Considere también los vectores \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{P_1 Q_1}\), \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{P_2 Q_2}\) y \(\overrightarrow{w}=\overrightarrow{P_3 Q_3}\). Calcular:

a. El vector \(\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\).

b. La magnitud del vector \(\overrightarrow{w}\), \(\|w\|\).

c. Los ángulos entre los vectores \(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\) y entre los vectores \(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{w}\).

d. \(Proy_{\overrightarrow{v}} (\overrightarrow{u})\) y \(Proy_{\overrightarrow{w}} (\overrightarrow{u})\).

Respuestas:

a. (8,3).

b. \(\sqrt{10}\).

c. 143.1\(^\circ\), 81.2\(^\circ\).

d. \(\frac{4}{5}(2,1)\), \(\frac{1}{10}(3,-1)\).


2. Pruebe que los triángulos con vértices A(-3,2), B(1,0), C(4,6) y F(1,1,-1), G(-3,2,-2), H(2,2,-4) son triángulos rectángulos.


3. Halle todos los valores del escalar \(k\) para los cuales los dos vectores siguientes son ortogonales.

$$ \overrightarrow{u} = (1,-1,2) $$

$$ \overrightarrow{v} = (k^2,k,-3) $$

Resp: -2, 3.


4. Sean \(\overrightarrow{V}=(1,-1,0)\) y \(\overrightarrow{W}=(1,1,0)\). Encontrar las coordenadas de un vector \(\overrightarrow{U}\) de \(R^3\) que cumpla simultáneamente con \(\overrightarrow{U} \perp \overrightarrow{V}\), \(\| \overrightarrow{U} \| = 4\) y que el ángulo entre \(\overrightarrow{U}\) y \(\overrightarrow{W}\) sea igual a \(\pi/3\).

Solución: Solución de ejercicio 4 - Geometría Vectorial.


5. Se tienen dos vectores \(A=\langle 2,-1,2 \rangle\) y \(B=\langle 1,2,-3 \rangle\). Hallar los vectores \(\overrightarrow{C}\) y \(\overrightarrow{D}\) en \(\mathbb{R}^3\), tal que \(\overrightarrow{A}=\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}\), \(\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{D}=0\) y \(\overrightarrow{C}\) paralelo a \(\overrightarrow{B}\).

Solución: Geometría vectorial | Ejercicio 5 | Vectores perpendiculares y paralelos


6. Compruebe que \( (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = \|\overrightarrow{u}\|^2 - \|\overrightarrow{v}\|^2 \) para vectores \(\overrightarrow{u}\) y \(\overrightarrow{v}\) cualquiera. Aquí el punto representa el producto punto o producto escalar.


7. Dados \(\overrightarrow{u}=5\hat{i}+12\hat{j}\) y \(\overrightarrow{v}=\hat{i}+k\hat{j}\), donde \(k\) es un escalar, encuentre \(k\) de tal manera que la medida en radianes del ángulo entre \(\overrightarrow{u}\) y \(\overrightarrow{v}\) sea \(\frac{\pi}{3}\). Respuesta:

$$ \frac{-240+\sqrt{85,683}}{407} $$


8. A partir del dibujo que se muestra a continuación, se puede demostrar que el área \(A\) de un triángulo se puede calcular así:

$$ A=\frac{\|\overrightarrow{u}\|~\|\overrightarrow{v}-Proy_{\overrightarrow{u}} (\overrightarrow{v})\|}{2} $$


9. Calcule el área del triángulo cuyos vértices son A(1,-1), B(2,2), C(4,0). Respuesta: 4.


10. Usando la expresión para calcular la proyección de un vector sobre otro, demuestre que la distancia de un punto \(P(x_1,y_1)\) a la recta \(Ax+By+C=0\) está dada por:

$$ d=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} $$

Solución: Ejercicio resuelto 10 | Geometría vectorial


11. Se tiene un triángulo \(\triangle ABC\) cuyos vértices son \(A(3,-3,1)\), \(B(0,1,3)\) y \(C(-1,3,2)\). Use métodos vectoriales para hallar el pie de la altura relativa al lado \(BC\) del \(\triangle ABC\).


12. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos: \(A(1,1,3)\), \(B(2,-1,5)\), \(C(-3,3,1)\) utilizando solo proyecciones vectoriales.


13. Sean los vectores \(\overrightarrow{a}=(-1,5,7)\) y \(\overrightarrow{e}=(1,-2,3)\), descomponga \(\overrightarrow{a}\) en la suma de dos vectores libres \(\overrightarrow{x}\) y \(\overrightarrow{y}\), tales que \(\overrightarrow{x}\) sea paralelo a \(\overrightarrow{e}\) y \(\overrightarrow{y}\) sea ortogonal a \(\overrightarrow{e}\). Hallar los vectores \(\overrightarrow{x}\) y \(\overrightarrow{y}\). Solución de ejercicio 13 | Geometría Vectorial


14. Se tiene el triángulo \(\triangle ABC\) con vértices \(A(4,2,0)\), \(B(3,4,-3)\) y \(C(7,0,1)\). Empleando procedimientos vectoriales: 

a) Demostrar que el triángulo es isósceles.

b) Demostrar que la mediana relativa a la base es también perpendicular a ella.

c) Hallar el área del triángulo.

Solución: Solución de ejercicio 14 | Geometría Vectorial


15. Sean \(\overrightarrow{V}=(3,1,0)\) y \(\overrightarrow{W}=(2,2,0)\). Encontrar las coordenadas de un vector \(\overrightarrow{U}\) de \(R^3\) que cumpla simultáneamente las dos condiciones siguientes.

a) \(\overrightarrow{U} \perp \overrightarrow{W}\).

b) \(Proy_{\overrightarrow{V}}\overrightarrow{U} =-2 \overrightarrow{V}\).

Solución: Ejercicio resuelto 15 | Geometría vectorial


16. Sean \(\overrightarrow{U}\), \(\overrightarrow{V}\) y \(\overrightarrow{W}\) vectores en \(R^2\) tales que \(\|\overrightarrow{U}\|=3\), \(\|\overrightarrow{V}\|=4\) y \(\|\overrightarrow{W}\|=2\). Si el ángulo entre \(\overrightarrow{U}\) y  \(\overrightarrow{V}\) es de \(60°\), el ángulo entre  \(\overrightarrow{V}\) y  \(\overrightarrow{W}\) es de \(120°\), y si  \(\overrightarrow{Z}=2 \overrightarrow{U} - \overrightarrow{V}+3\overrightarrow{W}\), calcular \(\overrightarrow{Z} \cdot \overrightarrow{V}\).

Solución: Ejercicio resuelto 16 | Geometría vectorial


17. Calcular las coordenadas del baricentro del triángulo con vértices \(A(3,1)\), \(B(6,7)\) y \(C(-2,8)\).

Solución: Ejercicio resuelto 17 | Geometría vectorial


18. Hallar un vector \(\overrightarrow{A}\) en la misma dirección del vector \(\overrightarrow{B}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\) que determine con el vector \(\overrightarrow{w}=-2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) un paralelogramo de área 25 unidades cuadradas.

Solución: Ejercicio resuelto 18 | Area de un paralelogramo en R3


19. Sean \(\overrightarrow{u}\) y \(\overrightarrow{v}\) vectores de \(R^3\) y \(\theta\) el ángulo entre \(\overrightarrow{u}\) y \(\overrightarrow{v}\). Demuestre que el área del triángulo determinado por ambos vectores es:

$$ \frac{\| u \times v \|}{2} $$


20. Considere el triángulo que se presenta en la siguiente figura, cuyos vértices se encuentran en los puntos de coordenadas \(P(-1,-3)\), \(Q(2,1)\), \(R(-5,3)\).

a. Calcule el ángulo \(\theta\).

b. Encuentre el área del triángulo de tres formas distintas, a saber:

  • Utilizando el ángulo \(\theta\).
  • Usando las coordenadas de \(S\) y pie de la altura \(h\).
  • Mediante el producto cruz.