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1. Determine las ecuaciones simétricas y paramétricas de las siguientes rectas:

Nota: si en cada una de las ecuaciones paramétricas de la recta, \(x=x_0+\alpha a\), \(y=y_0+\alpha b\), \(z=z_0+\alpha c\) despejamos el parámetro y luego igualamos, se obtienen las llamadas ecuaciones simétricas de la recta:

$$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$$

a. Pasa por los puntos \(P_1(3,5,7)\), \(P_2(6,5,4)\).

b. Pasa por el punto \(P(2,-3,4)\) y es perpendicular al plano con ecuación \(2x-y+3z=4\).

c. Pasa por el origen y es perpendicular a la línea \(\frac{x-10}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}\) en su intersección.

Respuesta:

a) \(x=3t+3\), \(y=5\), \(z=-3t+7\).

b) \(x=2t+2\), \(y=-t-3\), \(z=3t+4\).

c) \(x=13t\), \(y=-12t\), \(z=-8t\).


2. Determinar si los siguientes pares de rectas \(L_1\), \(L_2\) son paralelas, se cruzan o se interceptan. En este último caso, hallar el punto de intersección.

a. Primer par de rectas:

$$ L_1: x-2 = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{3} $$

$$ L_2: \frac{x-5}{3} = \frac{y-1}{2} = z-4 $$

b. Segundo par de rectas:

$$ L_1: \frac{x-6}{2} = \frac{y-5}{2} = \frac{z-7}{3} $$

$$ L_2: \frac{x-7}{3} = \frac{y-5}{3} = \frac{z-10}{5} $$

c. Tercer par de rectas:

$$ L_1: \frac{x-7}{6} = \frac{y+5}{4} = \frac{z-9}{8} $$

$$ L_2: \frac{x-11}{9} = \frac{y-7}{6} = \frac{z-13}{12} $$


3. Calcular el valor de \(b\) para que las rectas \(r\) y \(s\) se corten. Hallar dicho punto de corte.

$$ r: \frac{x-1}{2}=\frac{y+5}{-3}=\frac{z+1}{2}~~~s: \frac{x}{4}=y-b=\frac{z-1}{2} $$

Solución: Solución ejercicio 03 | Geometría analítica


4. Demuestre que la recta que pasa por los puntos (2,-1,-5) y (8,8,7) es paralela a la recta que pasa por los puntos (4,2,-6) y (8,8,2).


5. Demuestre que la recta que pasa por los puntos (0,1,1) y (1,-1,6) es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-4,2,1) y (-1,6,2).


6. Si dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes \(m_1 . m_2 = -1\). Determinar la ecuación de la recta que pasa por \(A(3,5)\) y es perpendicular a la recta \(3x-2y-1=0\).


7. En cada caso, encuentre la ecuación de:

a. El plano que pasa por el punto (1,-1,1) y tiene vector normal \(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\).

b. El plano que pasa por el punto (6,3,2) y es perpendicular al vector \(-2\hat{i}+\hat{j}+5\hat{k}\).

c. El plano que pasa por el punto (-2,8,10) y es perpendicular a la recta con ecuaciones paramétricas \(x=1+t\), \(y=2t\), \(z=4-3t\).

d. El plano que pasa por el punto (4,-2,3) y es paralelo al plano \(3x-7z=12\).

e. El plano que contiene a la recta con ecuaciones paramétricas \(x=3+2t\), \(y=t\), \(z=8-t\) y es paralelo al plano \(2x+4y+8z=17\).

f. El plano que pasa por los puntos (3,-1,2), (8,2,4), (-1,-2,-3). Resolver este problema por dos métodos diferentes.

g. El plano que pasa por el punto (-1,2,1) y contiene la recta de intersección de los planos \(x+y-z=2\) y \(2x-y+3z=1\).

Solución: Ejercicio resuelto 7g | Ecuación de un plano que contiene punto y recta de intersección

Respuestas:

a) \(x+y-z=-1\).

b) \(-2x+y+5z=1\).

c) \(x+2y-3z=-14\).

d) \(3x-7z=-9\).

e) \(2x+4y+8z=70\).

f) \(-13x+17y+7z=-42\).

g) \(x-2y+4z=-1\).


8. Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos. Si dos planos no son paralelos, entonces se cortan en una recta y el ángulo entre los dos planos se define como el ángulo agudo entre sus vectores normales. Verifique que las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección de los planos \(z=x+y\) y \(2x-5y-z=1\) son,

$$x=6t,~y=-\frac{1}{6}+t,~z=-\frac{1}{6}+7t$$

y que el ángulo entre ellos es \(77.82°\).

Solución: Ejercicio resuelto 8 | Geometría analítica


9. Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por el punto (0,1,2), es paralela al plano \(x+y+z=2\) y perpendicular a la recta \(x=1+t\), \(y=1-t\), \(z=2t\). Respuesta: \(x=3t\), \(y=1-t\), \(z=2-2t\).


10. Halle la distancia del punto (2,8,5) al plano \(x-2y-2z=1\). Respuesta: 25/3.

Solución: Ejercicio resuelto 10 | Geometría analítica


12. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos \(A(4,-1,3)\) y \(B(-1,3,4)\).


13. Hallar la ecuación del plano que contiene los puntos \(P(1,-3,2)\), \(Q(2,3,-1)\) y \(R(-1,2,1)\).


14. Determine el plano que contiene las rectas:

$$ L_1: \frac{x-3}{2}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z-5}{4}~~~\text{y}~~~L_2: \frac{x-1}{-2}=\frac{y-7}{4}=\frac{z-1}{-3} $$


16. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la recta,

$$ \frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1} $$

con el plano \(\pi: x-2y+5z+1=0\), y es paralelo a las rectas,

$$ s: \frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=z+1~~~y~~~w: x=y-2=\frac{z+4}{-2} $$

Solución: Geometría analítica | Solución ejercicio 16 | Rectas y planos


17. Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que es paralela a los planos \(\pi_1: x-3y+z=0\) y \(\pi_2: 2x-y+3z-5=0\) y pasa por el punto \( (2,-1,5) \).

Solución: Solución de ejercicio 17 | Geometría Analítica


18. Determinar el valor de la variable \(b\) para que las siguientes rectas en el espacio se intersequen. Hallar el punto de intersección:

$$ \overleftrightarrow{L_1}:~\frac{x-1}{2}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z+2}{3}~~~~~~\overleftrightarrow{L_2}:~x+7=\frac{y-b}{2}=\frac{z-1}{-6} $$

Solución: Ejercicio resuelto 18 | Geometría analítica


19. Hallar la distancia entre las siguientes rectas:

$$ \overleftrightarrow{L_1}:~\frac{x-2}{3}=y+1=\frac{z}{2} $$

$$ \overleftrightarrow{L_2}:~x = \frac{y-1}{2} = \frac{z+3}{4} $$

Solución: Ejercicio resuelto 19 | Distancia entre dos rectas en R3