Nota: si en cada una de las ecuaciones paramétricas de la recta, \(x=x_0+\alpha a\), \(y=y_0+\alpha b\), \(z=z_0+\alpha c\) despejamos el parámetro y luego igualamos, se obtienen las llamadas ecuaciones simétricas de la recta:
$$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$$
a. Pasa por los puntos \(P_1(3,5,7)\), \(P_2(6,5,4)\).
b. Pasa por el punto \(P(2,-3,4)\) y es perpendicular al plano con ecuación \(2x-y+3z=4\).
c. Pasa por el origen y es perpendicular a la línea \(\frac{x-10}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}\) en su intersección.
Respuesta:
a) \(x=3t+3\), \(y=5\), \(z=-3t+7\).
b) \(x=2t+2\), \(y=-t-3\), \(z=3t+4\).
c) \(x=13t\), \(y=-12t\), \(z=-8t\).
2. Determinar si los siguientes pares de rectas \(L_1\), \(L_2\) son paralelas, se cruzan o se interceptan. En este último caso, hallar el punto de intersección.
a. Primer par de rectas:
$$ L_1: x-2 = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{3} $$
$$ L_2: \frac{x-5}{3} = \frac{y-1}{2} = z-4 $$
b. Segundo par de rectas:
$$ L_1: \frac{x-6}{2} = \frac{y-5}{2} = \frac{z-7}{3} $$
$$ L_2: \frac{x-7}{3} = \frac{y-5}{3} = \frac{z-10}{5} $$
c. Tercer par de rectas:
$$ L_1: \frac{x-7}{6} = \frac{y+5}{4} = \frac{z-9}{8} $$
$$ L_2: \frac{x-11}{9} = \frac{y-7}{6} = \frac{z-13}{12} $$
3. Calcular el valor de \(b\) para que las rectas \(r\) y \(s\) se corten. Hallar dicho punto de corte.
$$ r: \frac{x-1}{2}=\frac{y+5}{-3}=\frac{z+1}{2}~~~s: \frac{x}{4}=y-b=\frac{z-1}{2} $$
Solución: Solución ejercicio 03 | Geometría analítica
4. Demuestre que la recta que pasa por los puntos (2,-1,-5) y (8,8,7) es paralela a la recta que pasa por los puntos (4,2,-6) y (8,8,2).
5. Demuestre que la recta que pasa por los puntos (0,1,1) y (1,-1,6) es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-4,2,1) y (-1,6,2).
6. Si dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes \(m_1 . m_2 = -1\). Determinar la ecuación de la recta que pasa por \(A(3,5)\) y es perpendicular a la recta \(3x-2y-1=0\).
7. En cada caso, encuentre la ecuación de:
a. El plano que pasa por el punto (1,-1,1) y tiene vector normal \(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\).
b. El plano que pasa por el punto (6,3,2) y es perpendicular al vector \(-2\hat{i}+\hat{j}+5\hat{k}\).
c. El plano que pasa por el punto (-2,8,10) y es perpendicular a la recta con ecuaciones paramétricas \(x=1+t\), \(y=2t\), \(z=4-3t\).
d. El plano que pasa por el punto (4,-2,3) y es paralelo al plano \(3x-7z=12\).
e. El plano que contiene a la recta con ecuaciones paramétricas \(x=3+2t\), \(y=t\), \(z=8-t\) y es paralelo al plano \(2x+4y+8z=17\).
f. El plano que pasa por los puntos (3,-1,2), (8,2,4), (-1,-2,-3). Resolver este problema por dos métodos diferentes.
g. El plano que pasa por el punto (-1,2,1) y contiene la recta de intersección de los planos \(x+y-z=2\) y \(2x-y+3z=1\).
Solución: Ejercicio resuelto 7g | Ecuación de un plano que contiene punto y recta de intersección
Respuestas:
a) \(x+y-z=-1\).
b) \(-2x+y+5z=1\).
c) \(x+2y-3z=-14\).
d) \(3x-7z=-9\).
e) \(2x+4y+8z=70\).
f) \(-13x+17y+7z=-42\).
g) \(x-2y+4z=-1\).
8. Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos. Si dos planos no son paralelos, entonces se cortan en una recta y el ángulo entre los dos planos se define como el ángulo agudo entre sus vectores normales. Verifique que las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección de los planos \(z=x+y\) y \(2x-5y-z=1\) son,
$$x=6t,~y=-\frac{1}{6}+t,~z=-\frac{1}{6}+7t$$
y que el ángulo entre ellos es \(77.82°\).
Solución: Ejercicio resuelto 8 | Geometría analítica
9. Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por el punto (0,1,2), es paralela al plano \(x+y+z=2\) y perpendicular a la recta \(x=1+t\), \(y=1-t\), \(z=2t\). Respuesta: \(x=3t\), \(y=1-t\), \(z=2-2t\).
10. Halle la distancia del punto (2,8,5) al plano \(x-2y-2z=1\). Respuesta: 25/3.
Solución: Ejercicio resuelto 10 | Geometría analítica
12. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos \(A(4,-1,3)\) y \(B(-1,3,4)\).
13. Hallar la ecuación del plano que contiene los puntos \(P(1,-3,2)\), \(Q(2,3,-1)\) y \(R(-1,2,1)\).
14. Determine el plano que contiene las rectas:
$$ L_1: \frac{x-3}{2}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z-5}{4}~~~\text{y}~~~L_2: \frac{x-1}{-2}=\frac{y-7}{4}=\frac{z-1}{-3} $$
16. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la recta,
$$ \frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1} $$
con el plano \(\pi: x-2y+5z+1=0\), y es paralelo a las rectas,
$$ s: \frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=z+1~~~y~~~w: x=y-2=\frac{z+4}{-2} $$
Solución: Geometría analítica | Solución ejercicio 16 | Rectas y planos
17. Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que es paralela a los planos \(\pi_1: x-3y+z=0\) y \(\pi_2: 2x-y+3z-5=0\) y pasa por el punto \( (2,-1,5) \).
Solución: Solución de ejercicio 17 | Geometría Analítica
18. Determinar el valor de la variable \(b\) para que las siguientes rectas en el espacio se intersequen. Hallar el punto de intersección:
$$ \overleftrightarrow{L_1}:~\frac{x-1}{2}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z+2}{3}~~~~~~\overleftrightarrow{L_2}:~x+7=\frac{y-b}{2}=\frac{z-1}{-6} $$
Solución: Ejercicio resuelto 18 | Geometría analítica
19. Hallar la distancia entre las siguientes rectas:
$$ \overleftrightarrow{L_1}:~\frac{x-2}{3}=y+1=\frac{z}{2} $$
$$ \overleftrightarrow{L_2}:~x = \frac{y-1}{2} = \frac{z+3}{4} $$
Solución: Ejercicio resuelto 19 | Distancia entre dos rectas en R3
20. La recta con ecuación,
$$ \overleftrightarrow{L_1}:~x=\frac{2-y}{-1}=1-z $$
se interseca con el plano \( \pi: 3x-y+z-3=0 \) en el punto G. Hallar la ecuación general del plano que contiene al punto G y a la recta,
$$ \overleftrightarrow{L_2}:~x=y+5=\frac{z-10}{2} $$
Solución: Geometría analítica | Solución ejercicio 20 | Rectas y planos
21. La recta con ecuación,
$$ \overleftrightarrow{L_1}:~\frac{2-x}{-1}=1-y=z $$
se interseca con el plano \( \pi: x-y-3z+2=0 \) en el punto G. Hallar la ecuación general del plano que contiene al punto G y a la recta,
$$ \overleftrightarrow{L_2}:~\frac{x-1}{2}=y=\frac{z-2}{3} $$
Solución: Geometría analítica | Solución ejercicio 21 | Rectas y planos
22. Se tiene el plano \( \pi: x+y+2z=1 \), el punto R(0,1,2) y la recta \(l\):
$$ x=-1+t $$
$$ y=1-t $$
$$ z=2t $$
Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene a R, es perpendicular a \( l \) y paralela a \( \pi \).
Solución: Geometría analítica | Solución ejercicio 22 | Rectas y planos
23. Se tiene el plano \( \pi: x+y-z=0 \), el punto R(0,2,1) y la recta \(l\):
$$ x=1-t $$
$$ y=1+t $$
$$ z=2t $$
Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene a R, es perpendicular a \( l \) y paralela a \( \pi \).
Solución: Geometría analítica | Solución ejercicio 23 | Rectas y planos
24. Hallar la forma simétrica de la ecuación de la recta que pasa por el punto \(P(1,-2,0)\), es paralela al plano \(\pi: 2x+y=3\) y es perpendicular a la recta
$$ \overleftrightarrow{r}: x=y-1=z $$
Solución: Ej. 24 | Recta que pasa por un punto, paralela a un plano y perpendicular a otra recta
25. Dadas las siguientes rectas:
$$ \overleftrightarrow{l1}: \frac{x+2}{-2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+k}{-2} $$
$$ \overleftrightarrow{l2}: $$
$$ x=-4+4t $$
$$ y=-1+3t $$
$$ z=-4+5t $$
Calcular:
a) El valor de \(k\) para que las rectas se corten (se intersequen).
b) El punto de intersección de las rectas.
Solución: Ej. 25 | Ecuaciones paramétricas y simétricas | Rectas que se cortan
26. Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto P de intersección de la recta
$$ \overleftrightarrow{l}: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1} $$
con el plano
$$ \pi_1: x-2y+5z+1=0 $$
y contiene a la recta \( \overleftrightarrow{r} \) de intersección de los planos
$$ \pi_2: x+y-z=2 $$
y
$$ \pi_3: 2x-y+3z=1 $$
Solución: Ej. 26 | Ecuación de un plano que pasa por un punto y contiene a una recta
27. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta \( \overleftrightarrow{L_1} \) que pasa por el punto \( Q(3,-2,1) \) y es ortogonal e interseca a la recta
$$ \overleftrightarrow{L_2}:~~~x+1=\frac{y-2}{2}=\frac{4-z}{3} $$
Hallar, adicionalmente, las coordenadas del punto de intersección de \( \overleftrightarrow{L_1} \) y \( \overleftrightarrow{L_2} \).
Solución: Ej. 27 | Ecuación de recta que pasa por punto y es ortogonal e interseca a otra recta
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