Viscosidad Ej. 1 - thefinitelement.com

: Última actualización: 20 Enero 2017; Visto: 4266

Se tiene un cilindro sobre una superficie como se ve en la Figura 1. Entre la superficie y el cilindro hay una capa de líquido con viscosidad

μ

$\mu$

y dicho cilindro gira a una velocidad angular constante

ω

$\omega$

determinada. La separación entre el cilindro y la superficie es "y", y el radio del cilindro es constante e igual a R.

Figura 1.

1. Aplicando la ecuación para el esfuerzo cortante, halle una expresión para hallar el torque T que se debe aplicar para mantener el cilindro girando. La expresión debe estar en función de

μ

$\mu$

, R,

ω

$\omega$

e y.

2. Teniendo en cuenta la expresión hallada para T, deduzca una para hallar la viscosidad

μ

$\mu$

Desarrollo

1. La expresión para el esfuerzo cortante es:

τ = μ \frac{d u}{d y}

$\tau = \mu \frac{du}{dy}$

Luego, tenemos que el esfuerzo es igual a un diferencial de fuerza sobre un diferencial de área,

\frac{d F}{d A} = μ \frac{d u}{d y}

$\frac{dF}{dA} = \mu \frac{du}{dy}$

De donde,

d F = μ \frac{d u}{d y} d A

$dF = \mu \frac{du}{dy} dA$

Luego, al ser una distancia de separación pequeña podemos hacer,

\frac{d u}{d y} = \frac{Δ u}{Δ y} = \frac{ω r - 0}{y - 0} = \frac{ω r}{y}

$\frac{du}{dy} = \frac{\Delta u}{\Delta y} = \frac{\omega r - 0}{y - 0} = \frac{\omega r}{y}$

Al tener en cuenta el análisis diferencial expuesto en la Figura 2 deducimos que,

d A = r d r d θ

$dA = r~dr~d\theta$

Figura 2. Análisis diferencial de la superficie del fondo del cilindro.

Reemplazando los valores de dA y du/dy en dF resulta,

d F = \frac{μ ω}{y} r^{2} d r d θ

$dF = \frac{\mu \omega}{y} r^2 dr d\theta$

Para hallar el torque necesitamos la ecuación diferencial para el torque, la cual es,

d T = d F . r = \frac{μ ω}{y} r^{3} d r d θ

$dT = dF.r = \frac{\mu \omega}{y} r^3 dr d\theta$

Integrando para hallar el valor de T,

T = \int_{0}^{T} d T = \frac{μ ω}{y} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} r^{3} d r d θ

$T = \int_0^T dT = \frac{\mu \omega}{y} \int_0^{2\pi} \int_0^R r^3 dr~d\theta$

Finalmente,

T = \frac{π μ ω R^{4}}{2 y}

$\boxed{T = \frac{\pi \mu \omega R^4}{2y}}$

2. Como ya se tenía la expresión para el torque solo despejamos la viscosidad para dejarla en función del torque, la velocidad angular, la separación y el radio del cilindro, así: