Todo número real (exceptuando 0) es de una de dos clases. Es positivo o negativo. Entonces, dados dos números reales $a$ y $b$, decimos que

$$a < b~\text{si}~b-a~\text{es positivo}$$

Propiedades de las desigualdades

1. Transitividad: si $a<b$ y $b<c$ entonces $a<c$.
2. Suma: Si $a<b$ entonces $a+c<b+c$.
3. Multiplicación con $c$ positivo: Si $a<b$ y $c>0$ entonces $a \cdot c < b \cdot c$.
4. Multiplicación con $c$ negativo: Si $a<b$ y $c<0$ entonces $a \cdot c > b \cdot c$.

La propiedad 2 dice que se puede sumar o restar a ambos lados, pues $c$ puede ser negativo. La división, que es equivalente a multiplicar por el recíproco, también cumple la propiedad 3.

Valor absoluto

Muchas veces se desea describir el tamaño de un número sin importar si es positivo o negativo. Para hacerlo, se introduce el concepto de valor absoluto, que se simboliza con dos barras verticales. Este concepto se define como

$$|a|=a~~~\text{si}~~~a\geq 0$$

$$|a|=-a~~~\text{si}~~~a < 0$$

Podemos pensar en $|a|$ en forma geométrica. Representa la distancia entre $a$ y 0 en la recta numérica. De manera más general, $|a-b|$ es la distancia entre $a$ y $b$. El número $|b-a|$ representa esta misma distancia.

Propiedades del valor absoluto

1. $|a \cdot b|=|a| \cdot |b|$.
2. $|a/b|=|a|/|b|$.
3. $|a+b| \leq |a|+|b|$.
4. $|-a|=|a|$.
5. $|a|^2=a^2$.

Hay una importante conexión entre el valor absoluto y la raíz cuadrada:

$$\sqrt{a^2}=|a|$$

Inecuaciones lineales

Para resolver la inecuación lineal $Ax+B<C$ se trata de reescribirla, en pasos sucesivos, hasta que la variable $x$ quede sola de un lado de la desigualdad. Esto depende principalmente de las propiedades de las desigualdades mencionadas antes en este artículo. Ejemplo: resolver la siguiente inecuación:

$$-2x+6 \leq 18+4x$$

Solución: súmese -4x a ambos lados:

$$-6x+6 \leq 18$$

Súmese ahora -6 a ambos lados:

$$-6x \leq 12$$

Multiplíquese por $-1/6$ a ambos lados:

$$x \geq -2$$

Nótese que en el último paso se usó la propiedad 4 de las desigualdades y el símbolo < cambió por >.

Inecuaciones cuadráticas

Para resolver

$$x^2-2x-3>0$$

primero se factoriza, obteniendo

$$(x+1)(x-3)>0$$

El producto de dos números es positivo en dos casos. Cuando ambos son negativos o cuando ambos son positivos.

• Caso 1: ambos negativos

Se necesita resolver simultáneamente

$$x+1<0~~~\text{y}~~~x-3<0$$

La primera inecuación resulta

$$x<-1$$

La segunda inecuación resulta

$$x<3$$

El conjunto solución del Caso 1 se encuentra con la intersección de los dos conjuntos. Los valores de $x$ que se hallan en el conjunto $x<-1$ y también en el conjunto $x<3$ son todos los valores

$$\text{Solución Caso 1:   }x<-1$$

• Caso 2: ambos positivos

Ambos factores son positivos cuando

$$x+1>0~~~\text{y}~~~x-3>0$$

La primera inecuación resulta

$$x>-1$$

La segunda inecuación resulta

$$x>3$$

El conjunto solución del Caso 2 se encuentra con la intersección de los dos conjuntos. Los valores de $x$ que se hallan en el conjunto $x>-1$ y también en el conjunto $x>3$ son todos los valores

$$\text{Solución Caso 2:   }x>3$$

El conjunto solución de la inecuación original es la unión de las soluciones para los dos casos. En la notación de conjuntos esto se puede representar como:

$${x:x<-1~\text{o}~x>3}$$

o como

$${x:x<-1} \cup {x:x>3}$$

Método con puntos de separación (cementerio)

Este método, mal llamado "del cementerio" consiste en:

1. Factorizar.
2. Hallar las soluciones del polinomio $f(x)=0$ y tomarlas como los puntos de separación.
3. Tomar un punto arbitrario de cada intervalo definido por los puntos de separación y evaluar.
4. Tomar los signos que resultan de evaluar y comprobar que se cumple el criterio. Si aprueba, el intervalo pertenece al conjunto solución.

• Ejemplo: resolver $P(x)=(x+2)(x-1)(x-4)<0$.

1. El polinomio se halla factorizado, luego, no se requiere factorizar.
2. Las soluciones de $(x+2)(x-1)(x-4)=0$ son $x=-2$, $x=1$ y $x=4$. Con esto se definen cuatro intervalos. Ver la siguiente tabla.
3. Se toman cuatro valores aleatorios para evaluar en cada expresión y para cada intervalo, digamos: $x=-3$, $x=0$, $x=2$ y $x=5$. El producto de las tres primeras filas de signos da como resultado la cuarta fila.
4. Se buscan valores para $x$ que satisfagan la inecuación $P(x)<0$. Estos valores corresponden con la unión de los números hallados en los intervalos $x<-2$ y $1<x<4$.

El conjunto solución se puede escribir así:

$${x:x<-2~~~\text{ó}~~~1<x<4}$$

Inecuaciones con valor absoluto

Es necesario aprender las siguientes propiedades. Sea a>0. Entonces,

1. $|x|<a$ es equivalente a: $-a<x<a$.
2. $|x|>a$ es equivalente a: $x<-a$ o $x>a$.

• Ejemplo: resolver la inecuación:

$$|3x-2|<4$$

Primero, eliminamos el valor absoluto aplicando la primera de las propiedades:

$$-4 <3x-2<4$$

Sumamos 2:

$$-2<3x<6$$

Multiplicamos por 1/3:

$$-\frac{2}{3}<x<2$$

También podría usarse el método "del cementerio" aquí, usando como solución de la ecuación $|3x-2|=4$ a los números -2/3 y 2 como los puntos de separación.