Todo número real (exceptuando 0) es de una de dos clases. Es positivo o negativo. Entonces, dados dos números reales \(a\) y \(b\), decimos que
$$ a < b~\text{si}~b-a~\text{es positivo} $$
Propiedades de las desigualdades
- Transitividad: si \(a<b\) y \(b<c\) entonces \(a<c\).
- Suma: Si \(a<b\) entonces \(a+c<b+c\).
- Multiplicación con \(c\) positivo: Si \(a<b\) y \(c>0\) entonces \(a \cdot c < b \cdot c \).
- Multiplicación con \(c\) negativo: Si \(a<b\) y \(c<0\) entonces \(a \cdot c > b \cdot c \).
La propiedad 2 dice que se puede sumar o restar a ambos lados, pues \(c\) puede ser negativo. La división, que es equivalente a multiplicar por el recíproco, también cumple la propiedad 3.
Valor absoluto
Muchas veces se desea describir el tamaño de un número sin importar si es positivo o negativo. Para hacerlo, se introduce el concepto de valor absoluto, que se simboliza con dos barras verticales. Este concepto se define como
$$ |a|=a~~~\text{si}~~~a\geq 0 $$
$$ |a|=-a~~~\text{si}~~~a < 0 $$
Podemos pensar en \( |a| \) en forma geométrica. Representa la distancia entre \(a\) y 0 en la recta numérica. De manera más general, \(|a-b|\) es la distancia entre \(a\) y \(b\). El número \(|b-a|\) representa esta misma distancia.
Propiedades del valor absoluto
- \(|a \cdot b|=|a| \cdot |b|\).
- \(|a/b|=|a|/|b|\).
- \(|a+b| \leq |a|+|b|\).
- \(|-a|=|a|\).
- \(|a|^2=a^2\).
Hay una importante conexión entre el valor absoluto y la raíz cuadrada:
$$ \sqrt{a^2}=|a| $$
Inecuaciones lineales
Para resolver la inecuación lineal \(Ax+B<C\) se trata de reescribirla, en pasos sucesivos, hasta que la variable \(x\) quede sola de un lado de la desigualdad. Esto depende principalmente de las propiedades de las desigualdades mencionadas antes en este artículo. Ejemplo: resolver la siguiente inecuación:
$$ -2x+6 \leq 18+4x $$
Solución: súmese -4x a ambos lados:
$$ -6x+6 \leq 18 $$
Súmese ahora -6 a ambos lados:
$$ -6x \leq 12 $$
Multiplíquese por \(-1/6\) a ambos lados:
$$ x \geq -2 $$
Nótese que en el último paso se usó la propiedad 4 de las desigualdades y el símbolo < cambió por >.
Inecuaciones cuadráticas
Para resolver
$$ x^2-2x-3>0 $$
primero se factoriza, obteniendo
$$ (x+1)(x-3)>0 $$
El producto de dos números es positivo en dos casos. Cuando ambos son negativos o cuando ambos son positivos.
-
Caso 1: ambos negativos
Se necesita resolver simultáneamente
$$ x+1<0~~~\text{y}~~~x-3<0 $$
La primera inecuación resulta
$$ x<-1 $$
La segunda inecuación resulta
$$ x<3 $$
El conjunto solución del Caso 1 se encuentra con la intersección de los dos conjuntos. Los valores de \(x\) que se hallan en el conjunto \(x<-1\) y también en el conjunto \(x<3\) son todos los valores
$$\text{Solución Caso 1: }x<-1 $$
-
Caso 2: ambos positivos
Ambos factores son positivos cuando
$$ x+1>0~~~\text{y}~~~x-3>0 $$
La primera inecuación resulta
$$ x>-1 $$
La segunda inecuación resulta
$$ x>3 $$
El conjunto solución del Caso 2 se encuentra con la intersección de los dos conjuntos. Los valores de \(x\) que se hallan en el conjunto \(x>-1\) y también en el conjunto \(x>3\) son todos los valores
$$\text{Solución Caso 2: }x>3 $$
El conjunto solución de la inecuación original es la unión de las soluciones para los dos casos. En la notación de conjuntos esto se puede representar como:
$$ {x:x<-1~\text{o}~x>3} $$
o como
$$ {x:x<-1} \cup {x:x>3} $$
Método con puntos de separación (cementerio)
Este método, mal llamado "del cementerio" consiste en:
- Factorizar.
- Hallar las soluciones del polinomio \(f(x)=0\) y tomarlas como los puntos de separación.
- Tomar un punto arbitrario de cada intervalo definido por los puntos de separación y evaluar.
- Tomar los signos que resultan de evaluar y comprobar que se cumple el criterio. Si aprueba, el intervalo pertenece al conjunto solución.
- Ejemplo: resolver \( P(x)=(x+2)(x-1)(x-4)<0 \).
- El polinomio se halla factorizado, luego, no se requiere factorizar.
- Las soluciones de \( (x+2)(x-1)(x-4)=0 \) son \(x=-2\), \(x=1\) y \(x=4\). Con esto se definen cuatro intervalos. Ver la siguiente tabla.
- Se toman cuatro valores aleatorios para evaluar en cada expresión y para cada intervalo, digamos: \(x=-3\), \(x=0\), \(x=2\) y \(x=5\). El producto de las tres primeras filas de signos da como resultado la cuarta fila.
- Se buscan valores para \(x\) que satisfagan la inecuación \(P(x)<0\). Estos valores corresponden con la unión de los números hallados en los intervalos \(x<-2\) y \(1<x<4\).
| \( (x+2) \) | - | + | + | + |
| \( (x-1) \) | - | - | + | + |
| \( (x-4) \) | - | - | - | + |
| \( (x+2)(x-1)(x-4) \) | - | + | - | + |
| Intervalo a evaluar | \(x<-2\) | \(-2<x<1\) | \(1<x<4\) | \(4<x\) |
El conjunto solución se puede escribir así:
$$ {x:x<-2~~~\text{ó}~~~1<x<4} $$
Inecuaciones con valor absoluto
Es necesario aprender las siguientes propiedades. Sea a>0. Entonces,
- \( |x|<a \) es equivalente a: \(-a<x<a\).
- \( |x|>a \) es equivalente a: \(x<-a\) o \(x>a\).
- Ejemplo: resolver la inecuación:
$$ |3x-2|<4 $$
Primero, eliminamos el valor absoluto aplicando la primera de las propiedades:
$$ -4 <3x-2<4 $$
Sumamos 2:
$$ -2<3x<6 $$
Multiplicamos por 1/3:
$$ -\frac{2}{3}<x<2 $$
También podría usarse el método "del cementerio" aquí, usando como solución de la ecuación \( |3x-2|=4 \) a los números -2/3 y 2 como los puntos de separación.
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