Contenidos
- Bases de factorización de polinomios
- Formulas de factorización
- Factorización por ensayo y error
- Factorizaciones sobre los números enteros, reales y complejos
- Factorización por sustitución
- Factorización por etapas
- Factorización por agrupación
- Factorización mediante suma y resta de un mismo término
- División sintética
- Teoremas para factorización de polinomios
- Teorema del residuo
- Teorema del factor
- Teorema de la factorización completa
- Acerca del números de ceros
- Teorema de los ceros racionales
- Factorización de un polinomio de segundo grado
- Forma \(Ax^2+Bx+C\) con \(A=1\).
- Forma \( Ax^2+Bx+C \) con \(A \neq 1\).
- Ejercicios resueltos
Un polinomio es una expresión que es la suma de muchos términos. Por ejemplo:
$$ 3x^2+11x+9 $$
$$ \frac{3}{2}x-5 $$
Un polinomio real en x es cualquier expresión de la forma
$$ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + ... + a_1 x + a_0 $$
donde las \(a\) son números reales y n es un entero no negativo. Las \(a\) se llaman coeficientes y se le llama grado al mayor exponente que aparece en el polinomio en un término con coeficiente distinto de cero. Ejemplos:
\( f(x)=2 \) (polinomio de grado 0 o constante).
\( f(x)=4x+1 \) (polinomio de grado 1 o lineal).
\( f(x)=5x^2-2x+2/3 \) (polinomio de grado 2 o cuadrático).
\( f(x)=x^3-2x+1 \) (polinomio de grado 3 o cúbico).
\( f(x)=-6x^4 + 12x^2-3x+13 \) (polinomio de grado 4 o cuártico).
\( f(x)=2 x^5 + 6x^4 -8x^2+x-3 \) (polinomio de grado 5 o quíntico).
Bases de factorización de polinomios
Factorizar un polinomio significa escribirlo como un producto de polinomios más simples. Factorizar un polinomio completamente es escribirlo como un producto de polinomios que ya no se pueden factorizar. Entonces, cuando se escribe
$$ x^3 - 9x = x(x^2-9) $$
se ha factorizado \(x^3 - 9x \), pero no es sino hasta que se escribe
$$ x^3 - 9x = x (x+3)(x-3) $$
cuando se ha factorizado \(x^3-9x\) por completo. Lo primero al aprender a factorizar es memorizar las fórmulas especiales para factorización. De ese modo, cuando se observen estas formas, factorizar será algo relativamente simple.
Formulas de factorización
Si se leen las siguientes fórmulas de izquierda a derecha tenemos las de factorización, pero leerlas de derecha a izquierda las convierte en las fórmulas de los productos notables.
Fórmulas de factorización (izquierda a derecha) >>>
<<< Fórmulas de productos notables (derecha a izquierda)
| 1. | $$ax+ay+az=a(x+y+z) $$ | ||
| 2. | $$x^2+(a+b)x +ab=(x+a)(x+b) $$ | ||
| 3. | Cuadrados perfectos. | $$ x^2+2xy+y^2=(x+y)^2 $$ | $$ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 $$ |
| 4. | Cuadrados perfectos. | $$ x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2 $$ | $$ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $$ |
| 5. | Diferencia de cuadrados. | $$ x^2-y^2 = (x+y)(x-y) $$ | $$ a^2-b^2 = (a+b)(a-b) $$ |
| 6. | $$ x^3 + 3x^2 y +3xy^2 + y^3=(x+y)^3 $$ | ||
| 7. | $$ x^3 - 3x^2 y +3xy^2 - y^3=(x-y)^3 $$ | ||
| 8. | Suma de cubos. | $$ x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) $$ | $$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $$ |
| 9. | Diferencia de cubos. | $$ x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) $$ | $$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $$ |
- Ejemplo: factorizar \(f(x)=x^2+10x+25=(x+5)(x+5)=(x+5)^2\). Ver caso 3. Cuadrados perfectos.
- Ejemplo: factorizar \(f(x)=x^2-12x+36=(x-6)^2\). Ver caso 4. Cuadrados perfectos.
- Ejemplo: factorizar \(f(x)=4x^2+12x+9=(2x+3)^2\). Ver caso 3. Cuadrados perfectos.
- Ejemplo: factorizar \(f(x)=x^2-16=(x+4)(x-4)\). Ver caso 5. Diferencia de cuadrados.
- Ejemplo: factorizar \(f(x)=y^2-100=(y+10)(y-10)\). Ver caso 5. Diferencia de cuadrados.
- Ejemplo: factorizar \(f(x)=4y^2-9b^2=(2y+3b)(2y-3b)\). Ver caso 5. Diferencia de cuadrados.
- Ejemplo: factorizar \(f(x)=8x^3+27=(2x)^3+3^3=(2x+3)[(2x)^2-(2x)(3)+3^2]=(2x+3)(4x^2-6x+9)\). Ver caso 8. Suma de cubos.
- Ejemplo: factorizar \(f(x)=x^3 z^3-1000=(xz)^3-10^3=(xz-10)(x^2 z^2+10xz+100)\). Ver caso 9. Diferencia de cubos.
Factorización por ensayo y error
Para polinomios de orden 2 con el coeficiente \(a\) que acompaña a \(x^2\) igual a 1.
- Ejemplo: factorizar
$$ f(x)=x^2-5x-14 $$
Buscamos una expresión de la forma
$$ f(x)=(x+a)(x+b) $$
Consiste en hallar dos números \(a\) y \(b\) tales que
| Sumados sean iguales a | Multiplicados sean iguales a |
| $$ a+b=-5 $$ | $$ a*b=-14 $$ |
La solución, con \(a=-7\) y \(b=2\) es
$$ f(x)=x^2-5x-14=(x-7)(x+2) $$
$$ f(x)=2x^2+13x-15 $$
Buscamos factores de la forma \( (2x+a)(x+b) \). Como \(a*b=-15\) se puede intentar primero con combinaciones de 3 y 5 (factores de -15). Algo así:
$$ (2x+5)(x-3) $$
$$ (2x-5)(x+3) $$
$$ (2x+3)(x-5) $$
$$ (2x-3)(x+5) $$
¡Ninguna de las combinaciones anteriores es útil! Sin embargo, hace falta probar con otro par. Combinaciones de 15 y 1. Miremos:
$$ (2x-15)(x+1) $$
$$ (2x+15)(x-1)=2x^2+13x-15 $$
¡Lo logramos con la última combinación! Observe que en todos los casos usamos combinaciones de números que multiplicados son iguales a -15.
Factorizaciones sobre los números enteros, reales y complejos
- Ejercicio: factorizar \(x^2-4\).
Se puede factorizar sobre los enteros, ya que los coeficientes +2 y -2 son enteros: (x+2)(x-2).
- Ejercicio: factorizar \(x^2-6\).
Se puede factorizar sobre los reales, así:
$$ f(x)=(x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6}) $$
- Ejercicio: factorizar \(x^2+16\).
Se puede factorizar sobre los números complejos, así:
$$ f(x)=(x+4i)(x-4i) $$
Factorización por sustitución
- Ejemplo: factorícese completamente sobre los enteros \(f(x)=3x^4+10x^2-8\).
Podemos realizar la sustitución \(u=x^2\) (o con otra letra cualquiera en lugar de u), entonces:
$$ f(x)=3x^4+10x^2-8 = 3u^2+10u-8 $$
Ya sabemos cómo factorizar ésta última expresión:
$$ 3u^2+10u-8 = (3u-2)(u+4) $$
Sustituyendo de vuelta, obtenemos:
$$ (3x^2-2)(x^2+4) $$
Ninguno de esos polinomios cuadráticos se puede factorizar más (mediante coeficientes enteros), por lo que ya se finalizó.
- Ejemplo: factorícese completamente sobre los enteros \(f(x)=(x+2y)^2-3(x+2y)-10\).
Aquí podemos usar la sustitución \(u=x+2y\) y luego factorizar el polinomio cuadrático resultante. Nos queda:
$$ f(x)=(x+2y)^2-3(x+2y)-10 = u^2-3u-10 $$
Para factorizar requerimos de dos números que sumados den -3 y multiplicados den -10. Con +2 y -5 logramos el objetivo:
$$ f(u) = u^2-3u-10 = (u+2)(u-5) $$
Sustituyendo de vuelta se obtiene:
$$ f(x) = (x+2y+2)(x+2y-5) $$
Factorización por etapas
- Ejemplo: factorícese \(x^6-y^6 \).
Debemos imaginar esta expresión como una diferencia de cuadrados y luego factorizar de nuevo. Observar que si usamos una sustitución podemos escribir \(a=x^3\) y \(b=y^3\), luego:
$$ x^6-y^6 = (x^3)(x^3)-(y^3)(y^3) = a \times a - b \times b = a^2 - b^2 $$
Usando la fórmula de factorización para la diferencia de cuadrados vista al inicio del artículo, obtenemos:
$$ a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (x^3+y^3)(x^3-y^3) $$
Sabemos que una diferencia de cubos se puede factorizar así:
$$ x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) $$
Lo cual permite, finalmente, escribir el resultado como:
$$ x^6-y^6 = (x^3+y^3)(x^3-y^3) = (x-y)(x^2+xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)$$
Con esto concluye el ejercicio.
Factorización por agrupación
- Ejemplo: factorizar \(am-an-bm+bn\).
Si la expresión tiene más de tres términos es probable que sea necesario agrupar algunos de éstos:
$$ am-an-bm+bn = (am-an)-(bm-bn) $$
$$ = a(m-n)-b(m-n) $$
$$ = (a-b)(m-n) $$
Observe que \( (m-n) \) fue un factor común de ambos términos.
- Ejemplo: factorizar \(a^2-4ab+4b^2-c^2\).
$$ a^2-4ab+4b^2-c^2 = (a^2-4ab+4b^2)-c^2 $$
$$ = (a^2-2a(2b)+(2b)^2)-c^2 $$
Lo que se tiene en el paréntesis grande son unos cuadrados perfectos. Nos queda, entonces:
$$ = (a-2b)^2-c^2 $$
Obtuvimos una diferencia de cuadrados, que se puede factorizar así:
$$ = ((a-2b)+c)((a-2b)-c) $$
$$ = (a-2b+c)(a-2b-c) $$
El polinomio tiene la forma \(Ax^2+Bx+C\). Si A, B y C no tienen factores comunes y \(A \neq 1 \).
Paso 1: hallar \( AC \).
$$ AC=(2)(3)=6 $$
Paso 2: hallar dos enteros \(m\) y \(n\) cuyo producto sea \( mn=AC \) y sumen \(m+n=B\).
| Enteros m y n cuyo producto es mn=AC=6 | 1 y 6 | -1 y -6 | 2 y 3 | -2 y -3 |
| Suma m+n | 7 | -7 | 5 | -5 |
Obtuvimos entonces los números m=2 y n=3 que multiplicados resultan en 6 y sumados en 5.
Paso 3: escribir \(Ax^2+Bx+C=Ax^2+mx+nx+C\).
$$ 2x^2+5x+3=2x^2+2x+3x+3 $$
Paso 4: factorizar la última expresión por agrupamiento.
$$2x^2+5x+3=2x(x+1)+3(x+1) $$
El resultado es, finalmente:
$$ 2x^2+5x+3=(2x+3)(x+1) $$
Factorización mediante suma y resta de un mismo término
- Ejemplo: factorizar \(x^4+4\) sobre los enteros.
Muchos afirmarían que este polinomio no se puede factorizar, pero se verá que sí es posible si se suma y resta \(4x^2\).
$$ x^4+4 = x^4+4x^2+4-4x^2 $$
$$ = (x^4+4x^2+4)-4x^2 $$
$$ = ((x^2)^2+2(x^2)2+(2^2))-(2x)^2 $$
Se obtendrá una diferencia de cuadrados:
$$ = (x^2+2)^2-(2x)^2 $$
Recordar que la diferencia de cuadrados factorizar así:
$$ a^2-b^2 = (a+b)(a-b) $$
Obtenemos, entonces:
$$ (x^2+2)^2-(2x)^2 = ((x^2+2)+2x)((x^2+2)-2x) $$
Reorganizando términos obtenemos:
$$ = (x^2+2x+2)(x^2-2x+2) $$
División sintética
En muchas ocasiones es necesario dividir entre polinomios de la forma \( (x-c) \). Para tal división hay una forma corta llamada división sintética. Se ilustrará cómo trabaja para
$$ (2x^3-x^2+5) / (x-2) $$
El resultado depende de los coeficientes; las potencias de x sirven principalmente para determinar el lugar de los coeficientes. Para un polinomio de grado 3, como el anterior, los coeficientes son A, B, C, D.
$$ 2x^3-x^2+5 = Ax^3+Bx^2+Cx+D $$
Los valores de cada coeficiente son A=2, B=-1, C=0 y D=5. Al número c se le llama divisor sintético, el cual es c=2.
| c=2 | 2=A | -1=B | 0=C | 5=D |
| Siempre se deja vacía | 4=2x2 | 6=3x2 | 12=6x2 | |
| 2=A | 3=-1+4 | 6=0+6 | 17=5+12 |
El procedimiento es así:
- Se escribe c siempre en la celda de arriba a la izquierda.
- A la derecha en la misma fila se escriben los coeficientes en orden descendente de las potencias de la variable, en este caso x.
- Se baja el primer primer coeficiente A sobre la misma columna hasta la tercera fila (2=A).
- Se multiplica por c y el resultado se escribe debajo del coeficiente -1=B.
- La suma 3=-1+4 se escribe en la tercera fila debajo de -1=B.
- Se repiten los pasos 4 y 5 hasta que se cubran todas las columnas.
La tabla resumida para la división sintética queda así:
| 2 | 2 | -1 | 0 | 5 |
| 4 | 6 | 12 | ||
| 2 | 3 | 6 | 17 |
Nota: Asegúrese de escribir CERO en las celdas cuyos coeficientes le pertenecen a potencias de x que faltan. En el ejercicio anterior falta el término \( Cx \) y por eso dicho coeficiente es cero.
El polinomio factorizado se puede escribir como:
$$ \frac{2x^3-x^2+5}{x-2}=(x-2)(2x^2+3x+6)+17 $$
Nótese, entonces, que la división sintética es útil para factorizar, siempre y cuando se conozca un factor de polinomio. El número 17 se toma como el residuo, y se tiene en cuenta al final.
- Ejercicio: use división sintética para realizar la siguiente división:
$$ \frac{3x^3+x^2-15x-5}{x+1/3} $$
| -1/3 | 3 | 1 | -15 | -5 |
| -1 | 0 | 5 | ||
| 3 | 0 | -15 | 0 |
Nótese que el residuo esta vez es 0, lo que indica que la división es exacta. Se concluye que
$$ \frac{3x^3+x^2-15x-5}{x+1/3} = 3x^2+0x-15 =3x^2-15 $$
Esto se puede reescribir, igual que en el ejercicio anterior, como:
$$ 3x^3+x^2-15x-5 = (x+1/3)(3x^2-15) $$
Teoremas para factorización de polinomios
Recuérdese que un polinomio es una expresión de la forma
$$ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + ... + a_1 x + a_0 $$
A menos que se especifique otra cosa, los coeficientes \( (a_i) \) pueden ser números complejos. Por un cero de \(P(x)\) se entiende cualquier número complejo c (real o no real) tal que \(P(c)=0\). El número c también es llamado una solución o una raíz de la ecuación \( P(x)=0 \).
Teorema del residuo
Si se divide un polinomio P(x) entre (x-c), entonces el residuo constante R está dado por R=P(c).
Para el caso concreto de factorizar un polinomio, su aplicación está en que, si c es un cero, entonces dividir P(x) entre (x-c) dará un residuo R=P(c)=0.
Teorema del factor
Un polinomio P(x) tiene a (c) como un cero si y sólo sí tiene a (x-c) como factor.
Ejemplo: considérese el polinomio
$$ P(x)=3x^3-8x^2+3x+2 $$
Obsérvese que
$$ P(1)=3-8+3+2=0 $$
Así, 1 es un cero. Por el teorema del factor \( (x-1) \) es un factor de \( P(x) \). Se puede utilizar la división sintética para encontrar el otro factor.
| 1 | 3 | -8 | 3 | 2 |
| 3 | -5 | -2 | ||
| 3 | -5 | -2 | 0 |
El residuo es R=0, como se esperaba y
$$ P(x)=(x-1)(3x^2-5x-2) $$
Podemos utilizar la fórmula cuadrática para encontrar los ceros del polinomio cuadrático, que son
$$ x_1=2 $$
$$ x_2=-\frac{1}{3} $$
Por lo tanto P(x) tiene a 1, 2 y -1/3 como sus tres ceros. Otra posibilidad para factorizar el polinomio cuadrático \( G(x) \) hubiese sido:
$$ G(x)=3x^2-5x-2 = (3x+1)(x-2) $$
Si sacamos factor común 3 del primer paréntesis nos queda
$$ G(x) = 3(x+1/3)(x-2) $$
De este modo, se resuelve para P(x)=0 y se encuentran de nuevo los valores para \(x_1\) y \(x_2\).
Otra forma de escribir el teorema del factor es:
Sea f una función polinomial, entonces (x-c) es un factor de f(x) si y sólo si f(c)=0. Se tienen dos proposiciones:
a. Si f(c)=0 entonces (x-c) es un factor de f(x).
b. Si (x-c) es un factor de f(x) entonces f(c)=0.
Teorema de la factorización completa
Si
$$ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + ... + a_1 x + a_0 $$
es un polinomio de n-esimo grado con n>0, entonces hay n números \(c_1, c_2, ... , c_n \) no necesariamente distintos, tales que
$$ P(x)=a_n(x-c_1)(x-c_2) ... (x-c_n) $$
Las letras c son los ceros de P(x); pueden o no, ser números reales.
Acerca del números de ceros
Afirmación: un polinomio de grado n tiene a lo más n ceros distintos.
Se llama a c un cero de multiplicidad k de P(x) si (x-c) aparece k veces en su factorización completa. Por ejemplo:
$$ P(x)=4(x-2)^3(x+1)(x-4)^2 $$
Los ceros 2, -1 y 4 tienen multiplicidad 3, 1 y 2, respectivamente. Un cero de multiplicidad 1 se llama un cero simple. Obsérvese en el ejemplo que las multiplicidades suman 6, el grado del polinomio. En general, se puede decir esto:
Un polinomio de n-esimo grado
tiene exactamente n ceros
siempre y cuando se cuente
un cero de multiplicidad k
como k ceros.
Teorema de los ceros racionales
Sea f una función polinomial de grado 1 o mayor de la forma
$$ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + ... + a_1 x + a_0 $$
con \(a_n \neq 0\) y \(a_0 \neq 0\), donde cada coeficiente es un entero. Si p/q, simplificado, es un cero racional de f, entonces p debe ser un factor de \(a_0\) y q debe ser un factor de \(a_n\).
Ejemplo: obtenga una lista de ceros racionales posibles de \(f(x)=2x^3+11x^2-7x-6\).
Primero, obtengo los factores de \(a_0=-6\):
| -6 | =1x-6 |
| =-1x6 | |
| =2x-3 | |
| =-2x3 |
Los posibles valores para \(p\) son:
$$p: \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 $$
Luego, obtengo los factores de \(a_3=2\):
| 2 | =1x2 |
| =-1x-2 |
Los posibles valores para \(q\) son:
$$q: \pm 1, \pm 2 $$
Ahora se forman todas las razones posibles \(p/q\):
$$\frac{p}{q}=\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6 $$
Si f tiene un cero racional se encontrará en esta lista, la cual contiene doce posibilidades.
Factorización de un polinomio de segundo grado
-
Forma \(Ax^2+Bx+C\) con \(A=1\).
Si se busca factorizar en los reales, se pueden probar los siguiente pasos:
- Calcular el discriminante. Si \( B^2-4AC<0 \) el polinomio es irreducible en los reales. No poseerá ceros reales, ya que su gráfica (una parábola) no cruza la recta y=0. Es decir, la ecuación P(x)=0 no tiene solución real.
- Revisar si el polinomio tiene la forma de la factorización del binomio cuadrado perfecto. Bastará entonces con aplicarla para factorizar. Ejemplo: factorizar \(x^2+10x+25=(x+5)^2\).
- Revisar si el polinomio se puede factorizar como \( (x+d)(x+e) \) donde busquemos que los números \(d\) y \(e\) sumados sean iguales a \(b\) y multiplicados sean iguales a \(c\). Ejemplo: factorizar \( x^2-x-2=(x-2)(x+1) \).
- Aplicar la fórmula cuadrática para hallar los ceros del polinomio y factorizar usando la forma \( (x-c_1)(x-c_2) \), donde \(c_1\) y \(c_2\) son los dos ceros. Ejemplo: factorizar \( x^2+(1/3)x-2/3=(x-2/3)(x+1) \).
-
Forma \( Ax^2+Bx+C \) con \(A \neq 1\).
- Calcular el discriminante. Si \( B^2-4AC<0 \) el polinomio es irreducible en los reales. No poseerá ceros reales, ya que su gráfica (una parábola) no cruza la recta y=0. Es decir, la ecuación P(x)=0 no tiene solución real.
- Revisar si el polinomio tiene la forma de la factorización del binomio cuadrado perfecto. Bastará entonces con aplicarla para factorizar. Ejemplo: factorizar \( 4x^2+12x+9=(2x)^2+2(2x)(3)+3^2=(2x+3)^2 \).
- Revisar si es posible sacar factor común \(A\) para obtener un polinomio de la forma \(x^2+Bx+C\). Ejemplo: \(2x^2+2x-12=2(x^2+x-6)\).
- Intentar factorizar mediante ensayo y error, buscando factorizar con la forma \( (Ax+m)(x+n) \), donde se busca que \( mn = C \) y luego se tantea con factores de \( C \) que cumplan esa condición. Ejemplo: \(2x^2+13x-15=(2x+15)(x-1) \). Lea este ejemplo desarrollado AQUÍ.
- Intentar factorizar mediante ensayo y error + agrupamiento. Ejemplo: \(2x^2+5x+3=(2x+3)(x+1) \). Ver ejemplo desarrollado AQUÍ.
- Aplicar la fórmula cuadrática para hallar los ceros del polinomio y factorizar usando la forma \( A(x-c_1)(x-c_2) \), donde \(c_1\) y \(c_2\) son los dos ceros. Ejemplo: factorizar \( 3x^2+x-2=3(x-2/3)(x+1) \).
Ejercicios resueltos
Acceda a ellos haciendo clic en el siguiente enlace:
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