Solución

La solución de la ecuación del tipo exponencial es:

1.	$(\sqrt{x})^x = x^\sqrt{x}$
2.	$x^{\frac{x}{2}} = x^\sqrt{x}$	Operamos con la raíz del lado izq.
3.	$\ln{\left( x^{\frac{x}{2}} \right)} = \ln{\left( x^\sqrt{x} \right)}$	Log. natural a ambos lados.
4.	$\frac{x}{2} \ln{x} = \sqrt{x} \ln{x}$	Por ley de logaritmos.
5.	$\frac{x}{2} \ln{x} - \sqrt{x} \ln{x} = 0$	Prop. de reales.
6.	$\ln{x} \left( \frac{x}{2} - \sqrt{x} \right) = 0$	Factor común Ln(x)
7.	$\ln{x}=0$	Primera posibilidad.
8.	$\frac{x}{2} - \sqrt{x}=0$	Segunda posibilidad.
9a.	$e^{\ln{x}}=e^0$	De 7. Función exponencial.
10a.	$x=1$	Solución para $\ln{x}=0$
11b.	$\frac{x^2}{4}=x$	De 8. Paso raiz al otro lado y elevo al cuadrado ambos lados.
12b.	$x^2=4x$	Prop. de reales.
13b.	$x^2-4x=0$	Prop. de reales.
14b.	$x(x-4)=0$	Factor común x.
15b.	$x=0~~~ó~~~x=4$	Dos posibilidades de solucion para $\frac{x}{2} - \sqrt{x}=0$

Si evaluamos $x=0$ se puede observar que se produce una indeterminación del tipo $0^0$ , luego $x=0$ no pertenece al dominio de las funciones y no existiría solución en $x=0$ . Por lo tanto, las dos soluciones son:

$x=1~~~y~~~x=4$