3. (Dificultad: 5/10) Resolver la siguiente ecuación exponencial para x:
2(32x−4)−7(3x−2)+6=0
Solución
La solución es la siguiente:
| Proposición | Razón | |
| 1. | 2(32x−4)−7(3x−2)+6=0 | |
| 2. | 2(32(x−2))−7(3x−2)+6=0 | Factor común 2. |
| 3. | 2(3x−2)2−7(3x−2)+6=0 | Aplico propiedades de exponentes. |
| 4. | Si a=3x−2: | |
| 5. | 2a2−7a+6=0 |
Sustitución de 4 en 3. Forma cuadrática: Ax2+Bx+C=0 |
| 6. | a1,2=−(−7)±√(−7)2−4(2)(6)2(2) | De 5. Solución de ecuación cuadrática. |
| 7. | a1,2=7±√49−484 | De 6. |
| 8. | a1,2=7±14 | De 7. |
| 9. | a1=7+14=2 | De 8. Solución 1. |
| 10. | a2=7−14=32 | De 8. Solución 2. |
| 11a. | a1=3x−2=2 | Por transitividad entre 4 y 9. |
| 12a. | ln(3x−2)=ln(2) | De 11a. Calculo logaritmo natural a ambos lados. |
| 13a. | (x−2)ln(3)=ln(2) | De 12a. Por ley de logaritmos. |
| 14a. | x−2=ln(2)ln(3) | De 13a. Propiedad de los reales. |
| 15a. |
x=2+ln(2)ln(3) x= 2.631 |
De 14a. Propiedad de los reales. Solución 1. |
| 16b. | a2=3x−2=32 | Por transitividad entre 4 y 10. |
| 17b. | ln(3x−2)=ln32 | De 16b. Calculo logaritmo natural a ambos lados. |
| 18b. | (x−2)ln(3)=ln(3)−ln(2) | De 17b. Por leyes de logaritmos. |
| 19b. | x−2=ln(3)−ln(2)ln(3) | De 18b. Propiedad de los reales. |
| 20b. | x=2+1−ln(2)ln(3) | De 19b. Propiedad de los reales. |
| 21b. |
x=3−ln(2)ln(3) x= 2.369 |
De 20b. Propiedad de los reales. Solución 2. |
Figura 1. Curva de la función 2(32x−4)−7(3x−2)+6=0
Figura 2. Curva de la función 2(32x−4)−7(3x−2)+6=0
Acercamiento a las soluciones: la coordenada x de los interceptos de la curva con la recta y=0
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