4. (Dificultad: 5/10) Resolver para \(x\) la siguiente ecuación:
$$ e^{2x} - 2 e^{-2x} - 1 = 0 $$
Solución
Proposición |
Razón |
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| 1. | $$ e^{2x} - 2 e^{-2x} - 1 = 0 $$ | Planteamiento del problema. |
| 2. | $$ e^{2x} - \frac{2}{e^{2x}} - 1 = 0 $$ | De 1. Propiedad de los exponentes. |
| 3. | $$ \frac{e^{2x} \cdot e^{2x}}{e^{2x}} - \frac{2}{e^{2x}} = 1 $$ | De 2. Multiplico numerador y denominador por la misma cantidad. |
| 4. | $$ \frac{e^{4x} - 2}{e^{2x}} = 1 $$ | De 3. Suma de fracciones. |
| 5. | $$ e^{4x} - 2 = e^{2x} $$ | De 4. Propiedad de los reales. |
| 6. | $$ e^{4x} - e^{2x} - 2 = 0 $$ | De 5. Propiedad de los reales. |
| 7. | $$ \left( e^{2x} \right)^2 - \left( e^{2x} \right)^1 - 2 = 0 $$ | De 6. Usando leyes de los exponentes, llevamos a la forma cuadrática \(x^2+Bx+C=0 \). |
| 8. | $$ \left( e^{2x} - 2 \right) \left( e^{2x} + 1 \right) = 0 $$ | De 7. Factorizamos polinomio de segundo grado. |
| 9. | $$ e^{2x} = 2 $$ | De 8. Primer cero del polinomio (primera solución). |
| 10. | $$ e^{2x} = -1 $$ | De 8. Segundo cero del polinomio (segunda solución). |
| 11. | $$ \ln{e^{2x}} = \ln{2} $$ | De 9. Logaritmo natural a ambos lados. |
| 12. | $$ 2x=\ln{2} $$ | De 11. Por definición de logaritmo natural. |
| 13. | $$ x = \frac{\ln{2}}{2} = 0.347 $$ | De 12. Propiedad de los reales. Solución. |
| 14. | $$ \ln{e^{2x}} = \ln{(-1)} $$ | De 10. Logaritmo natural a ambos lados. |
| 15. | $$ 2x=\ln{(-1)} $$ | De 14. Por definición de logaritmo natural. |
| 16. | $$ x = \frac{\ln{(-1)}}{2} $$ | De 15. De 12. Propiedad de los reales. |
| 17. | $$ \ln{(-1)}~\text{no existe} $$ | De 16. La función \(\ln{(x)}\) no está definida para \(x \leq 0 \). Sólo es válida la solución hallada en el paso 13. |
Figura 1. Gráficas de la función \( f(x)=e^{2x} - 2 e^{-2x} - 1 \).
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