Ejercicio resuelto 5 | Ecuación exponencial | Cambio de base

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5. (Dificultad: 5/10) Resolver para x la siguiente ecuación:

4x−1+23=9(2x−1+1)

Solución

 

Proposición

Razón
1. 4x−1+23=9(2x−1+1)  Planteamiento del problema.
2. (22)x−1+23−9(2x−1)−9=0  De 1.
3. (2x−1)2−9(2x−1)+14=0  De 2. Propiedades de los exponentes.
4. Si a=2x−1  Definición de nueva variable.
5. a2−9a+14=0  Sustitución de 4 en 3. Ecuación cuadrática.
6. (a−2)(a−7)=0    De 5. Se factoriza el polinomio.
7. Para a−2=0  De 6. Solución 1.
8. a=2=2x−1  De 7 y 4.
9. x−1=1  De 8. Se igualan exponentes dado que se posee la misma base.
10. x=2  De 9. Propiedad de los reales.
11. Para a−7=0  De 6. Solución 2.
12. a=7=2x−1  De 11 y 4.
13. log27=log22x−1  Se toma logaritmo base 2 a ambos lados.
14. log27=x−1  De 13. El logaritmo base 2 de 2 es igual a 1. Por ley de logaritmos el exponente pasa a multiplicar.
15.  x=1+log27  De 14. Propiedades de los reales.
16. x=1+ln7ln2=3.81  De 15. Cambio de base.

Figura 1. Gráficas de las curvas de las funciones f(x)=4x−1+23 y f(x)=9(2x−1+1).

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