2. (Dificultad: 7/10) Exprese al siguiente polinomio como un producto de factores lineales. Escriba al final las raices o ceros del polinomio.

$$ f(x) = x^4-6x^3+4x^2+30x-45 $$

Solución

Primero se hallan los factores de \(a_0=-45\):

$$ -45=5 \times -9,~-5 \times 9,~3 \times -15,~-3 \times 15 $$

Luego, los factores son: \(p=\pm 3,~\pm 9,~\pm 15 \). A continuación, se hallan los factores de \(a_n=1\):

$$ 1=1 \times 1,~-1 \times -1 $$

Entonces, los factores son: \(q=\pm 1\).

Los posibles ceros racionales son las combinaciones \(p/q\) de los números anteriores. Se puede evaluar cada \(p/q\). Primero el número +3, luego el -3 y así sucesivamente. Por suerte \(p/q=3\) es un cero, luego:

$$ f(3)=81-162+36+90-45 =0 $$

Por ese motivo \((x-3)\) es un factor del polinomio. Conociendo entonces un factor, se puede aplicar división sintética para hallar el otro factor:

Se toman los números de la última fila como los coeficientes del polinomio resultante, el cual es un grado menor que el polinomio original. La factorización se halla en el siguiente estado:

$$ f(x) = x^4-6x^3+4x^2+30x-45 = \left( x-3 \right) \left( x^3-3x^2-5x+15 \right) = \left( x-3 \right) \cdot g(x)~~~\text{Ec.1} $$

Se busca ahora factorizar el polinomio \(g(x)\) de grado 3 que quedó a la derecha en la expresión anterior. Los factores de \(a_0=15\) son \(p=\pm 1,~\pm 3,~\pm 5,~\pm 15 \). Los factores de \(a_n=1\) son \(q=\pm 1\). Los ceros racionales son las combinaciones posibles \(p/q\). Se puede evaluar uno por uno desde +1, luego -1, luego +3, luego -3, etc. Se hallará que g(3)=0, por lo cual \((x-3)\) es un factor de \(g(x)\). Se usa la división sintética para hallar el otro factor de \(g(x)\).

Se toman los números de la última fila como los coeficientes del polinomio resultante, el cual es un grado menor que el polinomio original. La factorización de \(g(x)\) se puede escribir así:

$$ g(x) = x^3-3x^2-5x+15 = (x-3) \left( x^2+0x-5 \right) = (x-3) \left( x^2-5 \right) = (x-3) \cdot h(x)~~~\text{Ec.2} $$

El polinomio \(h(x)\) se puede factorizar teniendo en cuenta que es una diferencia de cuadrados, así:

$$ h(x) = \left( x^2-5 \right) = (x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5}) $$

Finalmente, se puede escribir el polinomio original \(f(x)\) teniendo en cuenta los resultados de la Ec.1 y la Ec.2, así:

$$ f(x) = x^4-6x^3+4x^2+30x-45 = (x-3)^2(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5}) $$

Las raíces (también llamadas "los ceros") del polinomio son:

$$ x=3 \rightarrow~\text{cero de multiplicidad 2} $$

$$ x = -\sqrt{5} $$

$$ x = +\sqrt{5} $$

En la Figura 1 se presenta el gráfico de \(f(x)\), en donde se pueden apreciar los interceptos de la curva con la recta \(y=0\) o, que es lo mismo, con el eje X:

Figura 1. Gráfica de la función \(f(x) = x^4-6x^3+4x^2+30x-45\).