5. (Dificultad: 4/10) Factorizar el siguiente polinomio y hallar sus raíces racionales.

$$f(x)=3x^2+x-2$$

Solución

Debido a que la gráfica de la curva de $f(x)$ es una parábola, es conveniente tener presente que ésta puede abrir hacia arriba o hacia abajo. En cualquiera de los dos casos, es necesario determinar si la ecuación cuadrática $f(x)=0$ tiene raíces reales. Esto es fácil de determinar, calculando el valor del discriminante y sometiéndolo a los siguientes dos criterios:

• Si $b^2-4ac \geq 0$ entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales y es posible factorizarla en este campo numérico.
• Si $b^2-4ac < 0$ entonces la ecuación cuadrática NO tiene raíces reales y, por lo tanto, no es posible factorizarla en este campo numérico.

Siendo así:

$$b^2-4ac = 1^2-4(3)(-2) = 1 - (-24) = 1+24=25 > 0$$

Debido a esto, el polinomio tiene raíces reales. Ahora, se procede a factorizar. Se elige no usar la fórmula cuadrática esta vez, sino otra aproximación diferente. Dado que los coeficientes a, b y c no tienen factores comunes y $A \neq 1$, debemos hallar mediante tanteo dos números $m$ y $n$ tal que:

$$m+n=B=1$$

$$m \cdot n = A \cdot B = -6$$

Estos números son $m=-2$ y $n=3$. Ahora, se escribe el polinomio de la siguiente manera:

$$f(x) = ax^2+bx+c = ax^2+mx+nx+c$$

Es decir:

$$f(x) = 3x^2+x-2 = 3x^2-2x+3x-2$$

A continuación, se factoriza por agrupación:

$$f(x) = 3x^2+x-2 = x \left( 3x-2 \right) + \left( 3x-2 \right)$$

Factorizando los términos comunes:

$$f(x) = 3x^2+x-2 = \left( x+1 \right) \left( 3x-2 \right)$$

Se puede, inclusive, factorizar el número tres en el paréntesis de la derecha. Al resolver la ecuación $f(x)=0$ estamos hallando las coordenadas $x$ donde la curva intercepta la recta $y=0$ o, dicho de otra manera, hallando las coordenadas donde la curva de $f(x)$ intercepta al eje X. Se obtiene entonces:

$$f(x) = 3x^2+x-2 = 3 \left( x+1 \right) \left( x-\frac{2}{3} \right) =0$$

Los ceros o raíces del polinomio de segundo grado son, finalmente:

$$\text{Para}~x+1=0 \rightarrow x=-1$$

$$\text{Para}~x-\frac{2}{3}=0 \rightarrow x=\frac{2}{3} = 0.667$$

La gráfica de la función $f(x)$ se presenta en la Figura 1:

Figura 1. Gráfica de la función $f(x)=f(x)=3x^2+x-2$.