6. (Dificultad: 2/10) Factorizar el siguiente polinomio de segundo grado:
f(x)=x2+2x+3
Solución
Lo primero que siempre se debe comprobar es la existencia de soluciones para la ecuación:
f(x)=x2+2x+3=0
Se usa el discriminante para saberlo:
b2−4ac=22−4(1)(3)=4−12=−8<0
Si el discriminante es mayor o igual que cero el polinomio posee al menos una raíz, pero si es menor que cero la ecuación cuadrática no tiene raíces reales y por lo tanto no es posible factorizarla sobre este campo numérico. Este último es nuestro caso en este ejercicio. Conclusión: el polinomio es irreducible en los reales.
La razón: la parábola está desplazada en Y, quedando toda por encima o toda por debajo del eje X. Dicho en otras palabras, la ecuación f(x)=y=0 no tiene solución. Observe la Figura 1, que ilustra este hallazgo.
Figura 1. Gráfica de la función f(x)=x2+2x+3.
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