6. (Dificultad: 2/10Factorizar el siguiente polinomio de segundo grado:

f(x)=x2+2x+3

Solución

Lo primero que siempre se debe comprobar es la existencia de soluciones para la ecuación:

f(x)=x2+2x+3=0

Se usa el discriminante para saberlo:

b24ac=224(1)(3)=412=8<0

Si el discriminante es mayor o igual que cero el polinomio posee al menos una raíz, pero si es menor que cero la ecuación cuadrática no tiene raíces reales y por lo tanto no es posible factorizarla sobre este campo numérico. Este último es nuestro caso en este ejercicio. Conclusión: el polinomio es irreducible en los reales.

La razón: la parábola está desplazada en Y, quedando toda por encima o toda por debajo del eje X. Dicho en otras palabras, la ecuación f(x)=y=0 no tiene solución. Observe la Figura 1, que ilustra este hallazgo.

Figura 1. Gráfica de la función f(x)=x2+2x+3.

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